Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pl42lem.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
pl42lem.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
pl42lem.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
pl42lem.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
pl42lem.o |
|- ._|_ = ( oc ` K ) |
6 |
|
pl42lem.f |
|- F = ( pmap ` K ) |
7 |
|
pl42lem.p |
|- .+ = ( +P ` K ) |
8 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> K e. HL ) |
9 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> X e. B ) |
10 |
|
eqid |
|- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K ) |
11 |
1 10 6
|
pmapssat |
|- ( ( K e. HL /\ X e. B ) -> ( F ` X ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
12 |
8 9 11
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` X ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
13 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> Y e. B ) |
14 |
1 10 6
|
pmapssat |
|- ( ( K e. HL /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
15 |
8 13 14
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
16 |
10 7
|
paddssat |
|- ( ( K e. HL /\ ( F ` X ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( F ` Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
17 |
8 12 15 16
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
18 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> W e. B ) |
19 |
1 10 6
|
pmapssat |
|- ( ( K e. HL /\ W e. B ) -> ( F ` W ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
20 |
8 18 19
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` W ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
21 |
|
inss1 |
|- ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) C_ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) |
22 |
10 7
|
paddss1 |
|- ( ( K e. HL /\ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( F ` W ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) C_ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) ) ) |
23 |
21 22
|
mpi |
|- ( ( K e. HL /\ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( F ` W ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) ) |
24 |
8 17 20 23
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) ) |
25 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> V e. B ) |
26 |
1 10 6
|
pmapssat |
|- ( ( K e. HL /\ V e. B ) -> ( F ` V ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
27 |
8 25 26
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` V ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
28 |
10 7
|
sspadd2 |
|- ( ( K e. HL /\ ( F ` V ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( F ` V ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) ) |
29 |
8 27 17 28
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` V ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) ) |
30 |
|
ss2in |
|- ( ( ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) /\ ( F ` V ) C_ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) ) -> ( ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( F ` V ) ) C_ ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) ) ) |
31 |
24 29 30
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) i^i ( F ` Z ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( F ` V ) ) C_ ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( F ` V ) ) ) ) |