Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pl42.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
pl42.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
pl42.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
pl42.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
pl42.o |
|- ._|_ = ( oc ` K ) |
6 |
|
eqid |
|- ( pmap ` K ) = ( pmap ` K ) |
7 |
|
eqid |
|- ( +P ` K ) = ( +P ` K ) |
8 |
1 2 3 4 5 6 7
|
pl42lem4N |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( X .<_ ( ._|_ ` Y ) /\ Z .<_ ( ._|_ ` W ) ) -> ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) .\/ W ) ./\ V ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( X .\/ Y ) .\/ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) ) ) |
9 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> K e. HL ) |
10 |
9
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> K e. Lat ) |
11 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> X e. B ) |
12 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> Y e. B ) |
13 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B ) |
14 |
10 11 12 13
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( X .\/ Y ) e. B ) |
15 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> Z e. B ) |
16 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ Z e. B ) -> ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) e. B ) |
17 |
10 14 15 16
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) e. B ) |
18 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> W e. B ) |
19 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) .\/ W ) e. B ) |
20 |
10 17 18 19
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) .\/ W ) e. B ) |
21 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> V e. B ) |
22 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) .\/ W ) e. B /\ V e. B ) -> ( ( ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) .\/ W ) ./\ V ) e. B ) |
23 |
10 20 21 22
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) .\/ W ) ./\ V ) e. B ) |
24 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X .\/ W ) e. B ) |
25 |
10 11 18 24
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( X .\/ W ) e. B ) |
26 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ V e. B ) -> ( Y .\/ V ) e. B ) |
27 |
10 12 21 26
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( Y .\/ V ) e. B ) |
28 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( X .\/ W ) e. B /\ ( Y .\/ V ) e. B ) -> ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) e. B ) |
29 |
10 25 27 28
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) e. B ) |
30 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) e. B ) -> ( ( X .\/ Y ) .\/ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) e. B ) |
31 |
10 14 29 30
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( X .\/ Y ) .\/ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) e. B ) |
32 |
1 2 6
|
pmaple |
|- ( ( K e. HL /\ ( ( ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) .\/ W ) ./\ V ) e. B /\ ( ( X .\/ Y ) .\/ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) e. B ) -> ( ( ( ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) .\/ W ) ./\ V ) .<_ ( ( X .\/ Y ) .\/ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) <-> ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) .\/ W ) ./\ V ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( X .\/ Y ) .\/ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) ) ) |
33 |
9 23 31 32
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) .\/ W ) ./\ V ) .<_ ( ( X .\/ Y ) .\/ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) <-> ( ( pmap ` K ) ` ( ( ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) .\/ W ) ./\ V ) ) C_ ( ( pmap ` K ) ` ( ( X .\/ Y ) .\/ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) ) ) |
34 |
8 33
|
sylibrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( X .<_ ( ._|_ ` Y ) /\ Z .<_ ( ._|_ ` W ) ) -> ( ( ( ( X .\/ Y ) ./\ Z ) .\/ W ) ./\ V ) .<_ ( ( X .\/ Y ) .\/ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) ) |