Theorem psmettri2

Description: Triangle inequality for the distance function of a pseudometric. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018)

	Ref	Expression
Assertion	psmettri2	|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvex	|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> X e. _V )
2		ispsmet	|- ( X e. _V -> ( D e. ( PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
3	1 2	syl	|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> ( D e. ( PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) ) )
4	3	ibi	|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) ) )
5	4	simprd	|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> A. a e. X ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
6	5	r19.21bi	|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> ( ( a D a ) = 0 /\ A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) ) )
7	6	simprd	|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ a e. X ) -> A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
8	7	ralrimiva	|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) )
9		oveq1	|- ( a = A -> ( a D b ) = ( A D b ) )
10		oveq2	|- ( a = A -> ( c D a ) = ( c D A ) )
11	10	oveq1d	|- ( a = A -> ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) = ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) )
12	9 11	breq12d	|- ( a = A -> ( ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) <-> ( A D b ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) ) )
13		oveq2	|- ( b = B -> ( A D b ) = ( A D B ) )
14		oveq2	|- ( b = B -> ( c D b ) = ( c D B ) )
15	14	oveq2d	|- ( b = B -> ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) = ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) )
16	13 15	breq12d	|- ( b = B -> ( ( A D b ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D b ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) ) )
17		oveq1	|- ( c = C -> ( c D A ) = ( C D A ) )
18		oveq1	|- ( c = C -> ( c D B ) = ( C D B ) )
19	17 18	oveq12d	|- ( c = C -> ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) = ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
20	19	breq2d	|- ( c = C -> ( ( A D B ) <_ ( ( c D A ) +e ( c D B ) ) <-> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
21	12 16 20	rspc3v	|- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) -> ( A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
22	21	3comr	|- ( ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A. a e. X A. b e. X A. c e. X ( a D b ) <_ ( ( c D a ) +e ( c D b ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) ) )
23	8 22	mpan9	|- ( ( D e. ( PsMet ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )