Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
psrbag.d |
|- D = { f e. ( NN0 ^m I ) | ( `' f " NN ) e. Fin } |
2 |
|
df-ofr |
|- oR <_ = { <. a , b >. | A. c e. ( dom a i^i dom b ) ( a ` c ) <_ ( b ` c ) } |
3 |
2
|
relopabiv |
|- Rel oR <_ |
4 |
3
|
brrelex1i |
|- ( G oR <_ F -> G e. _V ) |
5 |
4
|
3ad2ant3 |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G e. _V ) |
6 |
|
simp2 |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G : I --> NN0 ) |
7 |
|
frnnn0suppg |
|- ( ( G e. _V /\ G : I --> NN0 ) -> ( G supp 0 ) = ( `' G " NN ) ) |
8 |
5 6 7
|
syl2anc |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( G supp 0 ) = ( `' G " NN ) ) |
9 |
|
eldifi |
|- ( x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) -> x e. I ) |
10 |
|
simp3 |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G oR <_ F ) |
11 |
6
|
ffnd |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> G Fn I ) |
12 |
1
|
psrbagf |
|- ( F e. D -> F : I --> NN0 ) |
13 |
12
|
3ad2ant1 |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F : I --> NN0 ) |
14 |
13
|
ffnd |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F Fn I ) |
15 |
|
simp1 |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> F e. D ) |
16 |
|
inidm |
|- ( I i^i I ) = I |
17 |
|
eqidd |
|- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) = ( G ` x ) ) |
18 |
|
eqidd |
|- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( F ` x ) = ( F ` x ) ) |
19 |
11 14 5 15 16 17 18
|
ofrfvalg |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( G oR <_ F <-> A. x e. I ( G ` x ) <_ ( F ` x ) ) ) |
20 |
10 19
|
mpbid |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> A. x e. I ( G ` x ) <_ ( F ` x ) ) |
21 |
20
|
r19.21bi |
|- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. I ) -> ( G ` x ) <_ ( F ` x ) ) |
22 |
9 21
|
sylan2 |
|- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( G ` x ) <_ ( F ` x ) ) |
23 |
|
frnnn0suppg |
|- ( ( F e. D /\ F : I --> NN0 ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) ) |
24 |
15 13 23
|
syl2anc |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) ) |
25 |
|
eqimss |
|- ( ( F supp 0 ) = ( `' F " NN ) -> ( F supp 0 ) C_ ( `' F " NN ) ) |
26 |
24 25
|
syl |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( F supp 0 ) C_ ( `' F " NN ) ) |
27 |
|
c0ex |
|- 0 e. _V |
28 |
27
|
a1i |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> 0 e. _V ) |
29 |
13 26 15 28
|
suppssrg |
|- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( F ` x ) = 0 ) |
30 |
22 29
|
breqtrd |
|- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( G ` x ) <_ 0 ) |
31 |
|
ffvelrn |
|- ( ( G : I --> NN0 /\ x e. I ) -> ( G ` x ) e. NN0 ) |
32 |
6 9 31
|
syl2an |
|- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( G ` x ) e. NN0 ) |
33 |
32
|
nn0ge0d |
|- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> 0 <_ ( G ` x ) ) |
34 |
32
|
nn0red |
|- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( G ` x ) e. RR ) |
35 |
|
0re |
|- 0 e. RR |
36 |
|
letri3 |
|- ( ( ( G ` x ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( G ` x ) = 0 <-> ( ( G ` x ) <_ 0 /\ 0 <_ ( G ` x ) ) ) ) |
37 |
34 35 36
|
sylancl |
|- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( ( G ` x ) = 0 <-> ( ( G ` x ) <_ 0 /\ 0 <_ ( G ` x ) ) ) ) |
38 |
30 33 37
|
mpbir2and |
|- ( ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) /\ x e. ( I \ ( `' F " NN ) ) ) -> ( G ` x ) = 0 ) |
39 |
6 38
|
suppss |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( G supp 0 ) C_ ( `' F " NN ) ) |
40 |
8 39
|
eqsstrrd |
|- ( ( F e. D /\ G : I --> NN0 /\ G oR <_ F ) -> ( `' G " NN ) C_ ( `' F " NN ) ) |