Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ptpjcn.1 |
|- Y = U. J |
2 |
|
ptpjcn.2 |
|- J = ( Xt_ ` F ) |
3 |
2
|
ptuni |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. J ) |
4 |
3
|
3adant3 |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> X_ k e. A U. ( F ` k ) = U. J ) |
5 |
1 4
|
eqtr4id |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> Y = X_ k e. A U. ( F ` k ) ) |
6 |
5
|
mpteq1d |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. Y |-> ( x ` I ) ) = ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) ) |
7 |
|
pttop |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top ) |
8 |
7
|
3adant3 |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( Xt_ ` F ) e. Top ) |
9 |
2 8
|
eqeltrid |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> J e. Top ) |
10 |
|
ffvelrn |
|- ( ( F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( F ` I ) e. Top ) |
11 |
10
|
3adant1 |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( F ` I ) e. Top ) |
12 |
|
vex |
|- x e. _V |
13 |
12
|
elixp |
|- ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) <-> ( x Fn A /\ A. k e. A ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) ) ) |
14 |
13
|
simprbi |
|- ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) -> A. k e. A ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) ) |
15 |
|
fveq2 |
|- ( k = I -> ( x ` k ) = ( x ` I ) ) |
16 |
|
fveq2 |
|- ( k = I -> ( F ` k ) = ( F ` I ) ) |
17 |
16
|
unieqd |
|- ( k = I -> U. ( F ` k ) = U. ( F ` I ) ) |
18 |
15 17
|
eleq12d |
|- ( k = I -> ( ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) <-> ( x ` I ) e. U. ( F ` I ) ) ) |
19 |
18
|
rspcva |
|- ( ( I e. A /\ A. k e. A ( x ` k ) e. U. ( F ` k ) ) -> ( x ` I ) e. U. ( F ` I ) ) |
20 |
14 19
|
sylan2 |
|- ( ( I e. A /\ x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) ) -> ( x ` I ) e. U. ( F ` I ) ) |
21 |
20
|
3ad2antl3 |
|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) /\ x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) ) -> ( x ` I ) e. U. ( F ` I ) ) |
22 |
21
|
fmpttd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : X_ k e. A U. ( F ` k ) --> U. ( F ` I ) ) |
23 |
5
|
feq2d |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : Y --> U. ( F ` I ) <-> ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : X_ k e. A U. ( F ` k ) --> U. ( F ` I ) ) ) |
24 |
22 23
|
mpbird |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : Y --> U. ( F ` I ) ) |
25 |
|
eqid |
|- { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } = { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } |
26 |
25
|
ptbas |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases ) |
27 |
|
bastg |
|- ( { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } e. TopBases -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) ) |
28 |
26 27
|
syl |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) ) |
29 |
|
ffn |
|- ( F : A --> Top -> F Fn A ) |
30 |
25
|
ptval |
|- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> ( Xt_ ` F ) = ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) ) |
31 |
2 30
|
eqtrid |
|- ( ( A e. V /\ F Fn A ) -> J = ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) ) |
32 |
29 31
|
sylan2 |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> J = ( topGen ` { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) ) |
33 |
28 32
|
sseqtrrd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ J ) |
34 |
33
|
adantr |
|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ u e. ( F ` I ) ) ) -> { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } C_ J ) |
35 |
|
eqid |
|- X_ k e. A U. ( F ` k ) = X_ k e. A U. ( F ` k ) |
36 |
25 35
|
ptpjpre2 |
|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ u e. ( F ` I ) ) ) -> ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. { w | E. g ( ( g Fn A /\ A. y e. A ( g ` y ) e. ( F ` y ) /\ E. z e. Fin A. y e. ( A \ z ) ( g ` y ) = U. ( F ` y ) ) /\ w = X_ y e. A ( g ` y ) ) } ) |
37 |
34 36
|
sseldd |
|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ ( I e. A /\ u e. ( F ` I ) ) ) -> ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J ) |
38 |
37
|
expr |
|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ I e. A ) -> ( u e. ( F ` I ) -> ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J ) ) |
39 |
38
|
ralrimiv |
|- ( ( ( A e. V /\ F : A --> Top ) /\ I e. A ) -> A. u e. ( F ` I ) ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J ) |
40 |
39
|
3impa |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> A. u e. ( F ` I ) ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J ) |
41 |
24 40
|
jca |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : Y --> U. ( F ` I ) /\ A. u e. ( F ` I ) ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J ) ) |
42 |
|
eqid |
|- U. ( F ` I ) = U. ( F ` I ) |
43 |
1 42
|
iscn2 |
|- ( ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) e. ( J Cn ( F ` I ) ) <-> ( ( J e. Top /\ ( F ` I ) e. Top ) /\ ( ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) : Y --> U. ( F ` I ) /\ A. u e. ( F ` I ) ( `' ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) " u ) e. J ) ) ) |
44 |
9 11 41 43
|
syl21anbrc |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. X_ k e. A U. ( F ` k ) |-> ( x ` I ) ) e. ( J Cn ( F ` I ) ) ) |
45 |
6 44
|
eqeltrd |
|- ( ( A e. V /\ F : A --> Top /\ I e. A ) -> ( x e. Y |-> ( x ` I ) ) e. ( J Cn ( F ` I ) ) ) |