Theorem reu7

Description: Restricted uniqueness using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006)

	Ref	Expression
Hypothesis	rmo4.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
Assertion	reu7	|- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. x e. A A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmo4.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2		reu3	|- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. z e. A A. x e. A ( ph -> x = z ) ) )
3		equequ1	|- ( x = y -> ( x = z <-> y = z ) )
4		equcom	|- ( y = z <-> z = y )
5	3 4	syl6bb	|- ( x = y -> ( x = z <-> z = y ) )
6	1 5	imbi12d	|- ( x = y -> ( ( ph -> x = z ) <-> ( ps -> z = y ) ) )
7	6	cbvralvw	|- ( A. x e. A ( ph -> x = z ) <-> A. y e. A ( ps -> z = y ) )
8	7	rexbii	|- ( E. z e. A A. x e. A ( ph -> x = z ) <-> E. z e. A A. y e. A ( ps -> z = y ) )
9		equequ1	|- ( z = x -> ( z = y <-> x = y ) )
10	9	imbi2d	|- ( z = x -> ( ( ps -> z = y ) <-> ( ps -> x = y ) ) )
11	10	ralbidv	|- ( z = x -> ( A. y e. A ( ps -> z = y ) <-> A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )
12	11	cbvrexvw	|- ( E. z e. A A. y e. A ( ps -> z = y ) <-> E. x e. A A. y e. A ( ps -> x = y ) )
13	8 12	bitri	|- ( E. z e. A A. x e. A ( ph -> x = z ) <-> E. x e. A A. y e. A ( ps -> x = y ) )
14	13	anbi2i	|- ( ( E. x e. A ph /\ E. z e. A A. x e. A ( ph -> x = z ) ) <-> ( E. x e. A ph /\ E. x e. A A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )
15	2 14	bitri	|- ( E! x e. A ph <-> ( E. x e. A ph /\ E. x e. A A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )