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## Theorem reu8

Description: Restricted uniqueness using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006)

Ref Expression
Hypothesis rmo4.1
`|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )`
Assertion reu8
`|- ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 rmo4.1
` |-  ( x = y -> ( ph <-> ps ) )`
2 1 cbvreuvw
` |-  ( E! x e. A ph <-> E! y e. A ps )`
3 reu6
` |-  ( E! y e. A ps <-> E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) )`
4 dfbi2
` |-  ( ( ps <-> y = x ) <-> ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )`
5 4 ralbii
` |-  ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )`
6 ancom
` |-  ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) )`
7 equcom
` |-  ( x = y <-> y = x )`
8 7 imbi2i
` |-  ( ( ps -> x = y ) <-> ( ps -> y = x ) )`
9 8 ralbii
` |-  ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) )`
10 9 a1i
` |-  ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) ) )`
11 biimt
` |-  ( x e. A -> ( ph <-> ( x e. A -> ph ) ) )`
12 df-ral
` |-  ( A. y e. A ( y = x -> ps ) <-> A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) )`
13 bi2.04
` |-  ( ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )`
14 13 albii
` |-  ( A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )`
15 eleq1w
` |-  ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )`
16 15 1 imbi12d
` |-  ( x = y -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( y e. A -> ps ) ) )`
17 16 bicomd
` |-  ( x = y -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )`
18 17 equcoms
` |-  ( y = x -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )`
19 18 equsalvw
` |-  ( A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) <-> ( x e. A -> ph ) )`
20 12 14 19 3bitrri
` |-  ( ( x e. A -> ph ) <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) )`
21 11 20 syl6bb
` |-  ( x e. A -> ( ph <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )`
22 10 21 anbi12d
` |-  ( x e. A -> ( ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )`
23 6 22 syl5bb
` |-  ( x e. A -> ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )`
24 r19.26
` |-  ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )`
25 23 24 syl6rbbr
` |-  ( x e. A -> ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )`
26 5 25 syl5bb
` |-  ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )`
27 26 rexbiia
` |-  ( E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )`
28 2 3 27 3bitri
` |-  ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )`