Theorem reu8

Description: Restricted uniqueness using implicit substitution. (Contributed by NM, 24-Oct-2006)

	Ref	Expression
Hypothesis	rmo4.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
Assertion	reu8	|- ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmo4.1	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
2	1	cbvreuvw	|- ( E! x e. A ph <-> E! y e. A ps )
3		reu6	|- ( E! y e. A ps <-> E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) )
4		dfbi2	|- ( ( ps <-> y = x ) <-> ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
5	4	ralbii	|- ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) )
6		ancom	|- ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) )
7		equcom	|- ( x = y <-> y = x )
8	7	imbi2i	|- ( ( ps -> x = y ) <-> ( ps -> y = x ) )
9	8	ralbii	|- ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) )
10	9	a1i	|- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps -> x = y ) <-> A. y e. A ( ps -> y = x ) ) )
11		biimt	|- ( x e. A -> ( ph <-> ( x e. A -> ph ) ) )
12		df-ral	|- ( A. y e. A ( y = x -> ps ) <-> A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) )
13		bi2.04	|- ( ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
14	13	albii	|- ( A. y ( y e. A -> ( y = x -> ps ) ) <-> A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) )
15		eleq1w	|- ( x = y -> ( x e. A <-> y e. A ) )
16	15 1	imbi12d	|- ( x = y -> ( ( x e. A -> ph ) <-> ( y e. A -> ps ) ) )
17	16	bicomd	|- ( x = y -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
18	17	equcoms	|- ( y = x -> ( ( y e. A -> ps ) <-> ( x e. A -> ph ) ) )
19	18	equsalvw	|- ( A. y ( y = x -> ( y e. A -> ps ) ) <-> ( x e. A -> ph ) )
20	12 14 19	3bitrri	|- ( ( x e. A -> ph ) <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) )
21	11 20	syl6bb	|- ( x e. A -> ( ph <-> A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
22	10 21	anbi12d	|- ( x e. A -> ( ( A. y e. A ( ps -> x = y ) /\ ph ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
23	6 22	syl5bb	|- ( x e. A -> ( ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) ) )
24		r19.26	|- ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( A. y e. A ( ps -> y = x ) /\ A. y e. A ( y = x -> ps ) ) )
25	23 24	syl6rbbr	|- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ( ps -> y = x ) /\ ( y = x -> ps ) ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
26	5 25	syl5bb	|- ( x e. A -> ( A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) ) )
27	26	rexbiia	|- ( E. x e. A A. y e. A ( ps <-> y = x ) <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )
28	2 3 27	3bitri	|- ( E! x e. A ph <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> x = y ) ) )