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Theorem sbthlem10

Description: Lemma for sbth . (Contributed by NM, 28-Mar-1998)

Ref Expression
Hypotheses sbthlem.1 
|- A e. _V
sbthlem.2 
|- D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
sbthlem.3 
|- H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
sbthlem.4 
|- B e. _V
Assertion sbthlem10 
|- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) -> A ~~ B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 sbthlem.1 
 |-  A e. _V
2 sbthlem.2 
 |-  D = { x | ( x C_ A /\ ( g " ( B \ ( f " x ) ) ) C_ ( A \ x ) ) }
3 sbthlem.3 
 |-  H = ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) )
4 sbthlem.4 
 |-  B e. _V
5 4 brdom 
 |-  ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B )
6 1 brdom 
 |-  ( B ~<_ A <-> E. g g : B -1-1-> A )
7 5 6 anbi12i 
 |-  ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) <-> ( E. f f : A -1-1-> B /\ E. g g : B -1-1-> A ) )
8 exdistrv 
 |-  ( E. f E. g ( f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) <-> ( E. f f : A -1-1-> B /\ E. g g : B -1-1-> A ) )
9 7 8 bitr4i 
 |-  ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) <-> E. f E. g ( f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) )
10 vex 
 |-  f e. _V
11 10 resex 
 |-  ( f |` U. D ) e. _V
12 vex 
 |-  g e. _V
13 12 cnvex 
 |-  `' g e. _V
14 13 resex 
 |-  ( `' g |` ( A \ U. D ) ) e. _V
15 11 14 unex 
 |-  ( ( f |` U. D ) u. ( `' g |` ( A \ U. D ) ) ) e. _V
16 3 15 eqeltri 
 |-  H e. _V
17 1 2 3 sbthlem9 
 |-  ( ( f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) -> H : A -1-1-onto-> B )
18 f1oen3g 
 |-  ( ( H e. _V /\ H : A -1-1-onto-> B ) -> A ~~ B )
19 16 17 18 sylancr 
 |-  ( ( f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) -> A ~~ B )
20 19 exlimivv 
 |-  ( E. f E. g ( f : A -1-1-> B /\ g : B -1-1-> A ) -> A ~~ B )
21 9 20 sylbi 
 |-  ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ A ) -> A ~~ B )