Theorem sigaex

Description: Lemma for issiga and isrnsiga . The class of sigma-algebras with base set o is a set. Note: a more generic version with ( O e. _V -> ... ) could be useful for sigaval . (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Oct-2016)

	Ref	Expression
Assertion	sigaex	|- { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ _om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab	|- { s e. ~P ~P o | ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ _om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s e. ~P ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ _om -> U. x e. s ) ) ) }
2		velpw	|- ( s e. ~P ~P o <-> s C_ ~P o )
3	2	anbi1i	|- ( ( s e. ~P ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ _om -> U. x e. s ) ) ) <-> ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ _om -> U. x e. s ) ) ) )
4	3	abbii	|- { s | ( s e. ~P ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ _om -> U. x e. s ) ) ) } = { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ _om -> U. x e. s ) ) ) }
5	1 4	eqtri	|- { s e. ~P ~P o | ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ _om -> U. x e. s ) ) } = { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ _om -> U. x e. s ) ) ) }
6		vex	|- o e. _V
7		pwexg	|- ( o e. _V -> ~P o e. _V )
8		pwexg	|- ( ~P o e. _V -> ~P ~P o e. _V )
9	6 7 8	mp2b	|- ~P ~P o e. _V
10	9	rabex	|- { s e. ~P ~P o | ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ _om -> U. x e. s ) ) } e. _V
11	5 10	eqeltrri	|- { s | ( s C_ ~P o /\ ( o e. s /\ A. x e. s ( o \ x ) e. s /\ A. x e. ~P s ( x ~<_ _om -> U. x e. s ) ) ) } e. _V