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Theorem sltn0

Description: If X is less than Y , then either (LeftY ) or ( RightX ) is non-empty. (Contributed by Scott Fenton, 10-Dec-2024)

Ref Expression
Assertion sltn0
|- ( ( X e. No /\ Y e. No /\ X  ( ( _Left ` Y ) =/= (/) \/ ( _Right ` X ) =/= (/) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lltropt
 |-  ( _Left ` X ) <
2 1 a1i
 |-  ( ( X e. No /\ Y e. No ) -> ( _Left ` X ) <
3 lltropt
 |-  ( _Left ` Y ) <
4 3 a1i
 |-  ( ( X e. No /\ Y e. No ) -> ( _Left ` Y ) <
5 lrcut
 |-  ( X e. No -> ( ( _Left ` X ) |s ( _Right ` X ) ) = X )
6 5 eqcomd
 |-  ( X e. No -> X = ( ( _Left ` X ) |s ( _Right ` X ) ) )
7 6 adantr
 |-  ( ( X e. No /\ Y e. No ) -> X = ( ( _Left ` X ) |s ( _Right ` X ) ) )
8 lrcut
 |-  ( Y e. No -> ( ( _Left ` Y ) |s ( _Right ` Y ) ) = Y )
9 8 eqcomd
 |-  ( Y e. No -> Y = ( ( _Left ` Y ) |s ( _Right ` Y ) ) )
10 9 adantl
 |-  ( ( X e. No /\ Y e. No ) -> Y = ( ( _Left ` Y ) |s ( _Right ` Y ) ) )
11 sltrec
 |-  ( ( ( ( _Left ` X ) < ( X  ( E. y e. ( _Left ` Y ) X <_s y \/ E. x e. ( _Right ` X ) x <_s Y ) ) )
12 2 4 7 10 11 syl22anc
 |-  ( ( X e. No /\ Y e. No ) -> ( X  ( E. y e. ( _Left ` Y ) X <_s y \/ E. x e. ( _Right ` X ) x <_s Y ) ) )
13 12 biimp3a
 |-  ( ( X e. No /\ Y e. No /\ X  ( E. y e. ( _Left ` Y ) X <_s y \/ E. x e. ( _Right ` X ) x <_s Y ) )
14 rexn0
 |-  ( E. y e. ( _Left ` Y ) X <_s y -> ( _Left ` Y ) =/= (/) )
15 rexn0
 |-  ( E. x e. ( _Right ` X ) x <_s Y -> ( _Right ` X ) =/= (/) )
16 14 15 orim12i
 |-  ( ( E. y e. ( _Left ` Y ) X <_s y \/ E. x e. ( _Right ` X ) x <_s Y ) -> ( ( _Left ` Y ) =/= (/) \/ ( _Right ` X ) =/= (/) ) )
17 13 16 syl
 |-  ( ( X e. No /\ Y e. No /\ X  ( ( _Left ` Y ) =/= (/) \/ ( _Right ` X ) =/= (/) ) )