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Theorem submafval

Description: First substitution for a submatrix. (Contributed by AV, 28-Dec-2018)

Ref Expression
Hypotheses submafval.a 
|- A = ( N Mat R )
submafval.q 
|- Q = ( N subMat R )
submafval.b 
|- B = ( Base ` A )
Assertion submafval 
|- Q = ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 submafval.a 
 |-  A = ( N Mat R )
2 submafval.q 
 |-  Q = ( N subMat R )
3 submafval.b 
 |-  B = ( Base ` A )
4 oveq12 
 |-  ( ( n = N /\ r = R ) -> ( n Mat r ) = ( N Mat R ) )
5 4 1 eqtr4di 
 |-  ( ( n = N /\ r = R ) -> ( n Mat r ) = A )
6 5 fveq2d 
 |-  ( ( n = N /\ r = R ) -> ( Base ` ( n Mat r ) ) = ( Base ` A ) )
7 6 3 eqtr4di 
 |-  ( ( n = N /\ r = R ) -> ( Base ` ( n Mat r ) ) = B )
8 simpl 
 |-  ( ( n = N /\ r = R ) -> n = N )
9 difeq1 
 |-  ( n = N -> ( n \ { k } ) = ( N \ { k } ) )
10 9 adantr 
 |-  ( ( n = N /\ r = R ) -> ( n \ { k } ) = ( N \ { k } ) )
11 difeq1 
 |-  ( n = N -> ( n \ { l } ) = ( N \ { l } ) )
12 11 adantr 
 |-  ( ( n = N /\ r = R ) -> ( n \ { l } ) = ( N \ { l } ) )
13 eqidd 
 |-  ( ( n = N /\ r = R ) -> ( i m j ) = ( i m j ) )
14 10 12 13 mpoeq123dv 
 |-  ( ( n = N /\ r = R ) -> ( i e. ( n \ { k } ) , j e. ( n \ { l } ) |-> ( i m j ) ) = ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) )
15 8 8 14 mpoeq123dv 
 |-  ( ( n = N /\ r = R ) -> ( k e. n , l e. n |-> ( i e. ( n \ { k } ) , j e. ( n \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) = ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) )
16 7 15 mpteq12dv 
 |-  ( ( n = N /\ r = R ) -> ( m e. ( Base ` ( n Mat r ) ) |-> ( k e. n , l e. n |-> ( i e. ( n \ { k } ) , j e. ( n \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) = ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) )
17 df-subma 
 |-  subMat = ( n e. _V , r e. _V |-> ( m e. ( Base ` ( n Mat r ) ) |-> ( k e. n , l e. n |-> ( i e. ( n \ { k } ) , j e. ( n \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) )
18 3 fvexi 
 |-  B e. _V
19 18 mptex 
 |-  ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) e. _V
20 16 17 19 ovmpoa 
 |-  ( ( N e. _V /\ R e. _V ) -> ( N subMat R ) = ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) )
21 17 mpondm0 
 |-  ( -. ( N e. _V /\ R e. _V ) -> ( N subMat R ) = (/) )
22 mpt0 
 |-  ( m e. (/) |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) = (/)
23 21 22 eqtr4di 
 |-  ( -. ( N e. _V /\ R e. _V ) -> ( N subMat R ) = ( m e. (/) |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) )
24 1 fveq2i 
 |-  ( Base ` A ) = ( Base ` ( N Mat R ) )
25 3 24 eqtri 
 |-  B = ( Base ` ( N Mat R ) )
26 matbas0pc 
 |-  ( -. ( N e. _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` ( N Mat R ) ) = (/) )
27 25 26 eqtrid 
 |-  ( -. ( N e. _V /\ R e. _V ) -> B = (/) )
28 27 mpteq1d 
 |-  ( -. ( N e. _V /\ R e. _V ) -> ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) = ( m e. (/) |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) )
29 23 28 eqtr4d 
 |-  ( -. ( N e. _V /\ R e. _V ) -> ( N subMat R ) = ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) )
30 20 29 pm2.61i 
 |-  ( N subMat R ) = ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) )
31 2 30 eqtri 
 |-  Q = ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) )