Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
submafval.a |
|- A = ( N Mat R ) |
2 |
|
submafval.q |
|- Q = ( N subMat R ) |
3 |
|
submafval.b |
|- B = ( Base ` A ) |
4 |
|
oveq12 |
|- ( ( n = N /\ r = R ) -> ( n Mat r ) = ( N Mat R ) ) |
5 |
4 1
|
eqtr4di |
|- ( ( n = N /\ r = R ) -> ( n Mat r ) = A ) |
6 |
5
|
fveq2d |
|- ( ( n = N /\ r = R ) -> ( Base ` ( n Mat r ) ) = ( Base ` A ) ) |
7 |
6 3
|
eqtr4di |
|- ( ( n = N /\ r = R ) -> ( Base ` ( n Mat r ) ) = B ) |
8 |
|
simpl |
|- ( ( n = N /\ r = R ) -> n = N ) |
9 |
|
difeq1 |
|- ( n = N -> ( n \ { k } ) = ( N \ { k } ) ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( n = N /\ r = R ) -> ( n \ { k } ) = ( N \ { k } ) ) |
11 |
|
difeq1 |
|- ( n = N -> ( n \ { l } ) = ( N \ { l } ) ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( n = N /\ r = R ) -> ( n \ { l } ) = ( N \ { l } ) ) |
13 |
|
eqidd |
|- ( ( n = N /\ r = R ) -> ( i m j ) = ( i m j ) ) |
14 |
10 12 13
|
mpoeq123dv |
|- ( ( n = N /\ r = R ) -> ( i e. ( n \ { k } ) , j e. ( n \ { l } ) |-> ( i m j ) ) = ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) |
15 |
8 8 14
|
mpoeq123dv |
|- ( ( n = N /\ r = R ) -> ( k e. n , l e. n |-> ( i e. ( n \ { k } ) , j e. ( n \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) = ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) |
16 |
7 15
|
mpteq12dv |
|- ( ( n = N /\ r = R ) -> ( m e. ( Base ` ( n Mat r ) ) |-> ( k e. n , l e. n |-> ( i e. ( n \ { k } ) , j e. ( n \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) = ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) ) |
17 |
|
df-subma |
|- subMat = ( n e. _V , r e. _V |-> ( m e. ( Base ` ( n Mat r ) ) |-> ( k e. n , l e. n |-> ( i e. ( n \ { k } ) , j e. ( n \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) ) |
18 |
3
|
fvexi |
|- B e. _V |
19 |
18
|
mptex |
|- ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) e. _V |
20 |
16 17 19
|
ovmpoa |
|- ( ( N e. _V /\ R e. _V ) -> ( N subMat R ) = ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) ) |
21 |
17
|
mpondm0 |
|- ( -. ( N e. _V /\ R e. _V ) -> ( N subMat R ) = (/) ) |
22 |
|
mpt0 |
|- ( m e. (/) |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) = (/) |
23 |
21 22
|
eqtr4di |
|- ( -. ( N e. _V /\ R e. _V ) -> ( N subMat R ) = ( m e. (/) |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) ) |
24 |
1
|
fveq2i |
|- ( Base ` A ) = ( Base ` ( N Mat R ) ) |
25 |
3 24
|
eqtri |
|- B = ( Base ` ( N Mat R ) ) |
26 |
|
matbas0pc |
|- ( -. ( N e. _V /\ R e. _V ) -> ( Base ` ( N Mat R ) ) = (/) ) |
27 |
25 26
|
syl5eq |
|- ( -. ( N e. _V /\ R e. _V ) -> B = (/) ) |
28 |
27
|
mpteq1d |
|- ( -. ( N e. _V /\ R e. _V ) -> ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) = ( m e. (/) |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) ) |
29 |
23 28
|
eqtr4d |
|- ( -. ( N e. _V /\ R e. _V ) -> ( N subMat R ) = ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) ) |
30 |
20 29
|
pm2.61i |
|- ( N subMat R ) = ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) |
31 |
2 30
|
eqtri |
|- Q = ( m e. B |-> ( k e. N , l e. N |-> ( i e. ( N \ { k } ) , j e. ( N \ { l } ) |-> ( i m j ) ) ) ) |