Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
submefmnd.g |
|- M = ( EndoFMnd ` A ) |
2 |
|
submefmnd.b |
|- B = ( Base ` M ) |
3 |
|
submefmnd.0 |
|- .0. = ( 0g ` M ) |
4 |
|
submefmnd.c |
|- F = ( Base ` S ) |
5 |
1
|
efmndmnd |
|- ( A e. V -> M e. Mnd ) |
6 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( S e. Mnd /\ F C_ B /\ .0. e. F ) /\ ( +g ` S ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) -> S e. Mnd ) |
7 |
5 6
|
anim12i |
|- ( ( A e. V /\ ( ( S e. Mnd /\ F C_ B /\ .0. e. F ) /\ ( +g ` S ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) ) -> ( M e. Mnd /\ S e. Mnd ) ) |
8 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( S e. Mnd /\ F C_ B /\ .0. e. F ) /\ ( +g ` S ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) -> F C_ B ) |
9 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( S e. Mnd /\ F C_ B /\ .0. e. F ) /\ ( +g ` S ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) -> .0. e. F ) |
10 |
|
simpr |
|- ( ( ( S e. Mnd /\ F C_ B /\ .0. e. F ) /\ ( +g ` S ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) -> ( +g ` S ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) |
11 |
|
resmpo |
|- ( ( F C_ B /\ F C_ B ) -> ( ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) |` ( F X. F ) ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) |
12 |
11
|
anidms |
|- ( F C_ B -> ( ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) |` ( F X. F ) ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) |
13 |
|
eqid |
|- ( +g ` M ) = ( +g ` M ) |
14 |
1 2 13
|
efmndplusg |
|- ( +g ` M ) = ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) |
15 |
14
|
eqcomi |
|- ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) = ( +g ` M ) |
16 |
15
|
reseq1i |
|- ( ( f e. B , g e. B |-> ( f o. g ) ) |` ( F X. F ) ) = ( ( +g ` M ) |` ( F X. F ) ) |
17 |
12 16
|
eqtr3di |
|- ( F C_ B -> ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) = ( ( +g ` M ) |` ( F X. F ) ) ) |
18 |
17
|
3ad2ant2 |
|- ( ( S e. Mnd /\ F C_ B /\ .0. e. F ) -> ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) = ( ( +g ` M ) |` ( F X. F ) ) ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( ( S e. Mnd /\ F C_ B /\ .0. e. F ) /\ ( +g ` S ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) -> ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) = ( ( +g ` M ) |` ( F X. F ) ) ) |
20 |
10 19
|
eqtrd |
|- ( ( ( S e. Mnd /\ F C_ B /\ .0. e. F ) /\ ( +g ` S ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) -> ( +g ` S ) = ( ( +g ` M ) |` ( F X. F ) ) ) |
21 |
8 9 20
|
3jca |
|- ( ( ( S e. Mnd /\ F C_ B /\ .0. e. F ) /\ ( +g ` S ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) -> ( F C_ B /\ .0. e. F /\ ( +g ` S ) = ( ( +g ` M ) |` ( F X. F ) ) ) ) |
22 |
21
|
adantl |
|- ( ( A e. V /\ ( ( S e. Mnd /\ F C_ B /\ .0. e. F ) /\ ( +g ` S ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) ) -> ( F C_ B /\ .0. e. F /\ ( +g ` S ) = ( ( +g ` M ) |` ( F X. F ) ) ) ) |
23 |
2 4 3
|
mndissubm |
|- ( ( M e. Mnd /\ S e. Mnd ) -> ( ( F C_ B /\ .0. e. F /\ ( +g ` S ) = ( ( +g ` M ) |` ( F X. F ) ) ) -> F e. ( SubMnd ` M ) ) ) |
24 |
7 22 23
|
sylc |
|- ( ( A e. V /\ ( ( S e. Mnd /\ F C_ B /\ .0. e. F ) /\ ( +g ` S ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) ) -> F e. ( SubMnd ` M ) ) |
25 |
24
|
ex |
|- ( A e. V -> ( ( ( S e. Mnd /\ F C_ B /\ .0. e. F ) /\ ( +g ` S ) = ( f e. F , g e. F |-> ( f o. g ) ) ) -> F e. ( SubMnd ` M ) ) ) |