Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simp1 |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> A C_ RR ) |
2 |
1
|
sselda |
|- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ B e. A ) -> B e. RR ) |
3 |
|
suprcl |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR ) |
4 |
3
|
adantr |
|- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ B e. A ) -> sup ( A , RR , < ) e. RR ) |
5 |
|
ltso |
|- < Or RR |
6 |
5
|
a1i |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> < Or RR ) |
7 |
|
sup3 |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) ) |
8 |
6 7
|
supub |
|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) -> ( B e. A -> -. sup ( A , RR , < ) < B ) ) |
9 |
8
|
imp |
|- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ B e. A ) -> -. sup ( A , RR , < ) < B ) |
10 |
2 4 9
|
nltled |
|- ( ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A y <_ x ) /\ B e. A ) -> B <_ sup ( A , RR , < ) ) |