Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tendo0.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
tendo0.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
3 |
|
tendo0.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
4 |
|
tendo0.e |
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
5 |
|
tendo0.o |
|- O = ( f e. T |-> ( _I |` B ) ) |
6 |
2 3
|
ltrnco |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. T ) |
7 |
5 1
|
tendo02 |
|- ( ( F o. G ) e. T -> ( O ` ( F o. G ) ) = ( _I |` B ) ) |
8 |
6 7
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( O ` ( F o. G ) ) = ( _I |` B ) ) |
9 |
5 1
|
tendo02 |
|- ( F e. T -> ( O ` F ) = ( _I |` B ) ) |
10 |
9
|
3ad2ant2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( O ` F ) = ( _I |` B ) ) |
11 |
5 1
|
tendo02 |
|- ( G e. T -> ( O ` G ) = ( _I |` B ) ) |
12 |
11
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( O ` G ) = ( _I |` B ) ) |
13 |
10 12
|
coeq12d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( O ` F ) o. ( O ` G ) ) = ( ( _I |` B ) o. ( _I |` B ) ) ) |
14 |
|
f1oi |
|- ( _I |` B ) : B -1-1-onto-> B |
15 |
|
f1of |
|- ( ( _I |` B ) : B -1-1-onto-> B -> ( _I |` B ) : B --> B ) |
16 |
|
fcoi1 |
|- ( ( _I |` B ) : B --> B -> ( ( _I |` B ) o. ( _I |` B ) ) = ( _I |` B ) ) |
17 |
14 15 16
|
mp2b |
|- ( ( _I |` B ) o. ( _I |` B ) ) = ( _I |` B ) |
18 |
13 17
|
eqtr2di |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( _I |` B ) = ( ( O ` F ) o. ( O ` G ) ) ) |
19 |
8 18
|
eqtrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( O ` ( F o. G ) ) = ( ( O ` F ) o. ( O ` G ) ) ) |