Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tposoprab.1 |
|- F = { <. <. x , y >. , z >. | ph } |
2 |
1
|
tposeqi |
|- tpos F = tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph } |
3 |
|
reldmoprab |
|- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } |
4 |
|
dftpos3 |
|- ( Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } ) |
5 |
3 4
|
ax-mp |
|- tpos { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } |
6 |
|
nfcv |
|- F/_ y <. b , a >. |
7 |
|
nfoprab2 |
|- F/_ y { <. <. x , y >. , z >. | ph } |
8 |
|
nfcv |
|- F/_ y c |
9 |
6 7 8
|
nfbr |
|- F/ y <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c |
10 |
|
nfcv |
|- F/_ x <. b , a >. |
11 |
|
nfoprab1 |
|- F/_ x { <. <. x , y >. , z >. | ph } |
12 |
|
nfcv |
|- F/_ x c |
13 |
10 11 12
|
nfbr |
|- F/ x <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c |
14 |
|
nfv |
|- F/ a <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c |
15 |
|
nfv |
|- F/ b <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c |
16 |
|
opeq12 |
|- ( ( b = x /\ a = y ) -> <. b , a >. = <. x , y >. ) |
17 |
16
|
ancoms |
|- ( ( a = y /\ b = x ) -> <. b , a >. = <. x , y >. ) |
18 |
17
|
breq1d |
|- ( ( a = y /\ b = x ) -> ( <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c ) ) |
19 |
9 13 14 15 18
|
cbvoprab12 |
|- { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , c >. | <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } |
20 |
|
nfcv |
|- F/_ z <. x , y >. |
21 |
|
nfoprab3 |
|- F/_ z { <. <. x , y >. , z >. | ph } |
22 |
|
nfcv |
|- F/_ z c |
23 |
20 21 22
|
nfbr |
|- F/ z <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c |
24 |
|
nfv |
|- F/ c ph |
25 |
|
breq2 |
|- ( c = z -> ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z ) ) |
26 |
|
df-br |
|- ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z <-> <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) |
27 |
|
oprabidw |
|- ( <. <. x , y >. , z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> ph ) |
28 |
26 27
|
bitri |
|- ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } z <-> ph ) |
29 |
25 28
|
bitrdi |
|- ( c = z -> ( <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c <-> ph ) ) |
30 |
23 24 29
|
cbvoprab3 |
|- { <. <. y , x >. , c >. | <. x , y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , z >. | ph } |
31 |
19 30
|
eqtri |
|- { <. <. a , b >. , c >. | <. b , a >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } c } = { <. <. y , x >. , z >. | ph } |
32 |
2 5 31
|
3eqtri |
|- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ph } |