Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
hbra1 |
|- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. x A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) |
2 |
|
alrim3con13v |
|- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. x A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) -> ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. x ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ) ) |
3 |
1 2
|
e0a |
|- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. x ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ) |
4 |
|
ax-5 |
|- ( x e. A -> A. y x e. A ) |
5 |
|
hbra1 |
|- ( A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. y A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) |
6 |
4 5
|
hbral |
|- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. y A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) |
7 |
|
alrim3con13v |
|- ( ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. y A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) -> ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. y ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ) ) |
8 |
6 7
|
e0a |
|- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. y ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ) |
9 |
|
idn2 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. ( x e. y /\ y e. B ) ). |
10 |
|
simpl |
|- ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. y ) |
11 |
9 10
|
e2 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. x e. y ). |
12 |
|
simpr |
|- ( ( x e. y /\ y e. B ) -> y e. B ) |
13 |
9 12
|
e2 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. y e. B ). |
14 |
|
idn3 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ,. B e. x ->. B e. x ). |
15 |
|
pm3.2an3 |
|- ( x e. y -> ( y e. B -> ( B e. x -> ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) ) ) ) |
16 |
11 13 14 15
|
e223 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ,. B e. x ->. ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) ). |
17 |
16
|
in3 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. ( B e. x -> ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) ) ). |
18 |
|
en3lp |
|- -. ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) |
19 |
|
con3 |
|- ( ( B e. x -> ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) ) -> ( -. ( x e. y /\ y e. B /\ B e. x ) -> -. B e. x ) ) |
20 |
17 18 19
|
e20 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. -. B e. x ). |
21 |
|
idn3 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ,. x = B ->. x = B ). |
22 |
|
eleq2 |
|- ( x = B -> ( y e. x <-> y e. B ) ) |
23 |
22
|
biimprcd |
|- ( y e. B -> ( x = B -> y e. x ) ) |
24 |
13 21 23
|
e23 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ,. x = B ->. y e. x ). |
25 |
|
pm3.2 |
|- ( x e. y -> ( y e. x -> ( x e. y /\ y e. x ) ) ) |
26 |
11 24 25
|
e23 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ,. x = B ->. ( x e. y /\ y e. x ) ). |
27 |
26
|
in3 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. ( x = B -> ( x e. y /\ y e. x ) ) ). |
28 |
|
en2lp |
|- -. ( x e. y /\ y e. x ) |
29 |
|
con3 |
|- ( ( x = B -> ( x e. y /\ y e. x ) ) -> ( -. ( x e. y /\ y e. x ) -> -. x = B ) ) |
30 |
27 28 29
|
e20 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. -. x = B ). |
31 |
|
idn1 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ). |
32 |
|
simp3 |
|- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> B e. A ) |
33 |
31 32
|
e1a |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. B e. A ). |
34 |
|
simp2 |
|- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) |
35 |
31 34
|
e1a |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ). |
36 |
|
ralcom |
|- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> A. y e. A A. x e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) |
37 |
36
|
biimpi |
|- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> A. y e. A A. x e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) |
38 |
35 37
|
e1a |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. A. y e. A A. x e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ). |
39 |
|
simp1 |
|- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> Tr A ) |
40 |
31 39
|
e1a |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. Tr A ). |
41 |
|
trel |
|- ( Tr A -> ( ( y e. B /\ B e. A ) -> y e. A ) ) |
42 |
41
|
expd |
|- ( Tr A -> ( y e. B -> ( B e. A -> y e. A ) ) ) |
43 |
40 13 33 42
|
e121 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. y e. A ). |
44 |
|
trel |
|- ( Tr A -> ( ( x e. y /\ y e. A ) -> x e. A ) ) |
45 |
44
|
expd |
|- ( Tr A -> ( x e. y -> ( y e. A -> x e. A ) ) ) |
46 |
40 11 43 45
|
e122 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. x e. A ). |
47 |
|
rspsbc2 |
|- ( B e. A -> ( x e. A -> ( A. y e. A A. x e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) ) ) |
48 |
47
|
com13 |
|- ( A. y e. A A. x e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> ( x e. A -> ( B e. A -> [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) ) ) |
49 |
38 46 33 48
|
e121 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ). |
50 |
|
equid |
|- x = x |
51 |
|
sbceq2a |
|- ( x = x -> ( [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) ) |
52 |
50 51
|
ax-mp |
|- ( [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) |
53 |
52
|
biimpi |
|- ( [. x / x ]. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) |
54 |
49 53
|
e2 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ). |
55 |
|
sbcoreleleq |
|- ( B e. A -> ( [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) <-> ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) ) ) |
56 |
55
|
biimpd |
|- ( B e. A -> ( [. B / y ]. ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) ) ) |
57 |
33 54 56
|
e12 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) ). |
58 |
|
3ornot23 |
|- ( ( -. B e. x /\ -. x = B ) -> ( ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) -> x e. B ) ) |
59 |
58
|
ex |
|- ( -. B e. x -> ( -. x = B -> ( ( x e. B \/ B e. x \/ x = B ) -> x e. B ) ) ) |
60 |
20 30 57 59
|
e222 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ,. ( x e. y /\ y e. B ) ->. x e. B ). |
61 |
60
|
in2 |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) ). |
62 |
8 61
|
gen11nv |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. A. y ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) ). |
63 |
3 62
|
gen11nv |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) ). |
64 |
|
dftr2 |
|- ( Tr B <-> A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) ) |
65 |
64
|
biimpri |
|- ( A. x A. y ( ( x e. y /\ y e. B ) -> x e. B ) -> Tr B ) |
66 |
63 65
|
e1a |
|- (. ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) ->. Tr B ). |
67 |
66
|
in1 |
|- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> Tr B ) |