Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
umgr2adedgwlk.e |
|- E = ( Edg ` G ) |
2 |
1
|
umgredgne |
|- ( ( G e. UMGraph /\ { A , B } e. E ) -> A =/= B ) |
3 |
2
|
ex |
|- ( G e. UMGraph -> ( { A , B } e. E -> A =/= B ) ) |
4 |
1
|
umgredgne |
|- ( ( G e. UMGraph /\ { B , C } e. E ) -> B =/= C ) |
5 |
4
|
ex |
|- ( G e. UMGraph -> ( { B , C } e. E -> B =/= C ) ) |
6 |
3 5
|
anim12d |
|- ( G e. UMGraph -> ( ( { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) -> ( A =/= B /\ B =/= C ) ) ) |
7 |
6
|
3impib |
|- ( ( G e. UMGraph /\ { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) -> ( A =/= B /\ B =/= C ) ) |
8 |
|
eqid |
|- ( Vtx ` G ) = ( Vtx ` G ) |
9 |
8 1
|
umgrpredgv |
|- ( ( G e. UMGraph /\ { A , B } e. E ) -> ( A e. ( Vtx ` G ) /\ B e. ( Vtx ` G ) ) ) |
10 |
9
|
simpld |
|- ( ( G e. UMGraph /\ { A , B } e. E ) -> A e. ( Vtx ` G ) ) |
11 |
10
|
3adant3 |
|- ( ( G e. UMGraph /\ { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) -> A e. ( Vtx ` G ) ) |
12 |
8 1
|
umgrpredgv |
|- ( ( G e. UMGraph /\ { B , C } e. E ) -> ( B e. ( Vtx ` G ) /\ C e. ( Vtx ` G ) ) ) |
13 |
12
|
simpld |
|- ( ( G e. UMGraph /\ { B , C } e. E ) -> B e. ( Vtx ` G ) ) |
14 |
13
|
3adant2 |
|- ( ( G e. UMGraph /\ { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) -> B e. ( Vtx ` G ) ) |
15 |
12
|
simprd |
|- ( ( G e. UMGraph /\ { B , C } e. E ) -> C e. ( Vtx ` G ) ) |
16 |
15
|
3adant2 |
|- ( ( G e. UMGraph /\ { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) -> C e. ( Vtx ` G ) ) |
17 |
11 14 16
|
3jca |
|- ( ( G e. UMGraph /\ { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) -> ( A e. ( Vtx ` G ) /\ B e. ( Vtx ` G ) /\ C e. ( Vtx ` G ) ) ) |
18 |
7 17
|
jca |
|- ( ( G e. UMGraph /\ { A , B } e. E /\ { B , C } e. E ) -> ( ( A =/= B /\ B =/= C ) /\ ( A e. ( Vtx ` G ) /\ B e. ( Vtx ` G ) /\ C e. ( Vtx ` G ) ) ) ) |