Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
uhgr3cyclex.v |
|- V = ( Vtx ` G ) |
2 |
|
uhgr3cyclex.e |
|- E = ( Edg ` G ) |
3 |
|
umgrupgr |
|- ( G e. UMGraph -> G e. UPGraph ) |
4 |
3
|
adantr |
|- ( ( G e. UMGraph /\ ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) ) -> G e. UPGraph ) |
5 |
|
simpl |
|- ( ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) -> f ( Cycles ` G ) p ) |
6 |
5
|
adantl |
|- ( ( G e. UMGraph /\ ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) ) -> f ( Cycles ` G ) p ) |
7 |
|
simpr |
|- ( ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) -> ( # ` f ) = 3 ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( G e. UMGraph /\ ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) ) -> ( # ` f ) = 3 ) |
9 |
2 1
|
upgr3v3e3cycl |
|- ( ( G e. UPGraph /\ f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) /\ ( a =/= b /\ b =/= c /\ c =/= a ) ) ) |
10 |
|
simpl |
|- ( ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) /\ ( a =/= b /\ b =/= c /\ c =/= a ) ) -> ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) |
11 |
10
|
reximi |
|- ( E. c e. V ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) /\ ( a =/= b /\ b =/= c /\ c =/= a ) ) -> E. c e. V ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) |
12 |
11
|
reximi |
|- ( E. b e. V E. c e. V ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) /\ ( a =/= b /\ b =/= c /\ c =/= a ) ) -> E. b e. V E. c e. V ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) |
13 |
12
|
reximi |
|- ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) /\ ( a =/= b /\ b =/= c /\ c =/= a ) ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) |
14 |
9 13
|
syl |
|- ( ( G e. UPGraph /\ f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) |
15 |
4 6 8 14
|
syl3anc |
|- ( ( G e. UMGraph /\ ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) |
16 |
15
|
ex |
|- ( G e. UMGraph -> ( ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) ) |
17 |
16
|
exlimdvv |
|- ( G e. UMGraph -> ( E. f E. p ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) -> E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) ) |
18 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) -> G e. UMGraph ) |
19 |
|
df-3an |
|- ( ( a e. V /\ b e. V /\ c e. V ) <-> ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c e. V ) ) |
20 |
19
|
biimpri |
|- ( ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ c e. V ) -> ( a e. V /\ b e. V /\ c e. V ) ) |
21 |
20
|
ad4ant23 |
|- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) -> ( a e. V /\ b e. V /\ c e. V ) ) |
22 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) -> ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) |
23 |
1 2
|
umgr3cyclex |
|- ( ( G e. UMGraph /\ ( a e. V /\ b e. V /\ c e. V ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) -> E. f E. p ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 /\ ( p ` 0 ) = a ) ) |
24 |
|
3simpa |
|- ( ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 /\ ( p ` 0 ) = a ) -> ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) ) |
25 |
24
|
2eximi |
|- ( E. f E. p ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 /\ ( p ` 0 ) = a ) -> E. f E. p ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) ) |
26 |
23 25
|
syl |
|- ( ( G e. UMGraph /\ ( a e. V /\ b e. V /\ c e. V ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) -> E. f E. p ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) ) |
27 |
18 21 22 26
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( G e. UMGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) /\ c e. V ) /\ ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) -> E. f E. p ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) ) |
28 |
27
|
rexlimdva2 |
|- ( ( G e. UMGraph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( E. c e. V ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) -> E. f E. p ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) ) ) |
29 |
28
|
rexlimdvva |
|- ( G e. UMGraph -> ( E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) -> E. f E. p ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) ) ) |
30 |
17 29
|
impbid |
|- ( G e. UMGraph -> ( E. f E. p ( f ( Cycles ` G ) p /\ ( # ` f ) = 3 ) <-> E. a e. V E. b e. V E. c e. V ( { a , b } e. E /\ { b , c } e. E /\ { c , a } e. E ) ) ) |