Theorem uniin

Description: The class union of the intersection of two classes. Exercise 4.12(n) of Mendelson p. 235. See uniinqs for a condition where equality holds. (Contributed by NM, 4-Dec-2003) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011)

	Ref	Expression
Assertion	uniin	|- U. ( A i^i B ) C_ ( U. A i^i U. B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		19.40	|- ( E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) -> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
2		elin	|- ( y e. ( A i^i B ) <-> ( y e. A /\ y e. B ) )
3	2	anbi2i	|- ( ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> ( x e. y /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) )
4		anandi	|- ( ( x e. y /\ ( y e. A /\ y e. B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
5	3 4	bitri	|- ( ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
6	5	exbii	|- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) <-> E. y ( ( x e. y /\ y e. A ) /\ ( x e. y /\ y e. B ) ) )
7		eluni	|- ( x e. U. A <-> E. y ( x e. y /\ y e. A ) )
8		eluni	|- ( x e. U. B <-> E. y ( x e. y /\ y e. B ) )
9	7 8	anbi12i	|- ( ( x e. U. A /\ x e. U. B ) <-> ( E. y ( x e. y /\ y e. A ) /\ E. y ( x e. y /\ y e. B ) ) )
10	1 6 9	3imtr4i	|- ( E. y ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) -> ( x e. U. A /\ x e. U. B ) )
11		eluni	|- ( x e. U. ( A i^i B ) <-> E. y ( x e. y /\ y e. ( A i^i B ) ) )
12		elin	|- ( x e. ( U. A i^i U. B ) <-> ( x e. U. A /\ x e. U. B ) )
13	10 11 12	3imtr4i	|- ( x e. U. ( A i^i B ) -> x e. ( U. A i^i U. B ) )
14	13	ssriv	|- U. ( A i^i B ) C_ ( U. A i^i U. B )