Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elwwlks2on.v |
|- V = ( Vtx ` G ) |
2 |
|
eqid |
|- ( Edg ` G ) = ( Edg ` G ) |
3 |
1 2
|
umgrwwlks2on |
|- ( ( G e. UMGraph /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) ) -> ( <" A B C "> e. ( A ( 2 WWalksNOn G ) C ) <-> ( { A , B } e. ( Edg ` G ) /\ { B , C } e. ( Edg ` G ) ) ) ) |
4 |
|
3anrev |
|- ( ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) <-> ( C e. V /\ B e. V /\ A e. V ) ) |
5 |
1 2
|
umgrwwlks2on |
|- ( ( G e. UMGraph /\ ( C e. V /\ B e. V /\ A e. V ) ) -> ( <" C B A "> e. ( C ( 2 WWalksNOn G ) A ) <-> ( { C , B } e. ( Edg ` G ) /\ { B , A } e. ( Edg ` G ) ) ) ) |
6 |
4 5
|
sylan2b |
|- ( ( G e. UMGraph /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) ) -> ( <" C B A "> e. ( C ( 2 WWalksNOn G ) A ) <-> ( { C , B } e. ( Edg ` G ) /\ { B , A } e. ( Edg ` G ) ) ) ) |
7 |
|
prcom |
|- { C , B } = { B , C } |
8 |
7
|
eleq1i |
|- ( { C , B } e. ( Edg ` G ) <-> { B , C } e. ( Edg ` G ) ) |
9 |
|
prcom |
|- { B , A } = { A , B } |
10 |
9
|
eleq1i |
|- ( { B , A } e. ( Edg ` G ) <-> { A , B } e. ( Edg ` G ) ) |
11 |
8 10
|
anbi12ci |
|- ( ( { C , B } e. ( Edg ` G ) /\ { B , A } e. ( Edg ` G ) ) <-> ( { A , B } e. ( Edg ` G ) /\ { B , C } e. ( Edg ` G ) ) ) |
12 |
6 11
|
bitr2di |
|- ( ( G e. UMGraph /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) ) -> ( ( { A , B } e. ( Edg ` G ) /\ { B , C } e. ( Edg ` G ) ) <-> <" C B A "> e. ( C ( 2 WWalksNOn G ) A ) ) ) |
13 |
3 12
|
bitrd |
|- ( ( G e. UMGraph /\ ( A e. V /\ B e. V /\ C e. V ) ) -> ( <" A B C "> e. ( A ( 2 WWalksNOn G ) C ) <-> <" C B A "> e. ( C ( 2 WWalksNOn G ) A ) ) ) |