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Theorem xmettri

Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of Gleason p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015)

Ref Expression
Assertion xmettri 
|- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpl 
 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> D e. ( *Met ` X ) )
2 simpr3 
 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> C e. X )
3 simpr1 
 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> A e. X )
4 simpr2 
 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> B e. X )
5 xmettri2 
 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( C e. X /\ A e. X /\ B e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
6 1 2 3 4 5 syl13anc 
 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) )
7 xmetsym 
 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ C e. X /\ A e. X ) -> ( C D A ) = ( A D C ) )
8 1 2 3 7 syl3anc 
 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( C D A ) = ( A D C ) )
9 8 oveq1d 
 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( C D A ) +e ( C D B ) ) = ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )
10 6 9 breqtrd 
 |-  ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A D B ) <_ ( ( A D C ) +e ( C D B ) ) )