Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
brwdom3i |
|- ( A ~<_* B -> E. f A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) ) |
2 |
1
|
adantr |
|- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> E. f A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) ) |
3 |
|
brwdom3i |
|- ( C ~<_* D -> E. g A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) |
4 |
3
|
adantl |
|- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> E. g A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) |
5 |
|
relwdom |
|- Rel ~<_* |
6 |
5
|
brrelex1i |
|- ( A ~<_* B -> A e. _V ) |
7 |
5
|
brrelex1i |
|- ( C ~<_* D -> C e. _V ) |
8 |
|
xpexg |
|- ( ( A e. _V /\ C e. _V ) -> ( A X. C ) e. _V ) |
9 |
6 7 8
|
syl2an |
|- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> ( A X. C ) e. _V ) |
10 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) -> ( A X. C ) e. _V ) |
11 |
5
|
brrelex2i |
|- ( A ~<_* B -> B e. _V ) |
12 |
5
|
brrelex2i |
|- ( C ~<_* D -> D e. _V ) |
13 |
|
xpexg |
|- ( ( B e. _V /\ D e. _V ) -> ( B X. D ) e. _V ) |
14 |
11 12 13
|
syl2an |
|- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> ( B X. D ) e. _V ) |
15 |
14
|
adantr |
|- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) -> ( B X. D ) e. _V ) |
16 |
|
pm3.2 |
|- ( E. b e. B a = ( f ` b ) -> ( E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) ) |
17 |
16
|
ralimdv |
|- ( E. b e. B a = ( f ` b ) -> ( A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> A. c e. C ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) ) |
18 |
17
|
com12 |
|- ( A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( E. b e. B a = ( f ` b ) -> A. c e. C ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) ) |
19 |
18
|
ralimdv |
|- ( A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) -> A. a e. A A. c e. C ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) ) |
20 |
19
|
impcom |
|- ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) -> A. a e. A A. c e. C ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) |
21 |
|
pm3.2 |
|- ( a = ( f ` b ) -> ( c = ( g ` d ) -> ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) ) |
22 |
21
|
reximdv |
|- ( a = ( f ` b ) -> ( E. d e. D c = ( g ` d ) -> E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) ) |
23 |
22
|
com12 |
|- ( E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( a = ( f ` b ) -> E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) ) |
24 |
23
|
reximdv |
|- ( E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( E. b e. B a = ( f ` b ) -> E. b e. B E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) ) |
25 |
24
|
impcom |
|- ( ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) -> E. b e. B E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) |
26 |
25
|
2ralimi |
|- ( A. a e. A A. c e. C ( E. b e. B a = ( f ` b ) /\ E. d e. D c = ( g ` d ) ) -> A. a e. A A. c e. C E. b e. B E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) |
27 |
20 26
|
syl |
|- ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) -> A. a e. A A. c e. C E. b e. B E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) |
28 |
|
eqeq1 |
|- ( x = <. a , c >. -> ( x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. <-> <. a , c >. = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. ) ) |
29 |
|
vex |
|- a e. _V |
30 |
|
vex |
|- c e. _V |
31 |
29 30
|
opth |
|- ( <. a , c >. = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. <-> ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) |
32 |
28 31
|
bitrdi |
|- ( x = <. a , c >. -> ( x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. <-> ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) ) |
33 |
32
|
2rexbidv |
|- ( x = <. a , c >. -> ( E. b e. B E. d e. D x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. <-> E. b e. B E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) ) |
34 |
33
|
ralxp |
|- ( A. x e. ( A X. C ) E. b e. B E. d e. D x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. <-> A. a e. A A. c e. C E. b e. B E. d e. D ( a = ( f ` b ) /\ c = ( g ` d ) ) ) |
35 |
27 34
|
sylibr |
|- ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) -> A. x e. ( A X. C ) E. b e. B E. d e. D x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. ) |
36 |
35
|
r19.21bi |
|- ( ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) /\ x e. ( A X. C ) ) -> E. b e. B E. d e. D x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. ) |
37 |
|
vex |
|- b e. _V |
38 |
|
vex |
|- d e. _V |
39 |
37 38
|
op1std |
|- ( y = <. b , d >. -> ( 1st ` y ) = b ) |
40 |
39
|
fveq2d |
|- ( y = <. b , d >. -> ( f ` ( 1st ` y ) ) = ( f ` b ) ) |
41 |
37 38
|
op2ndd |
|- ( y = <. b , d >. -> ( 2nd ` y ) = d ) |
42 |
41
|
fveq2d |
|- ( y = <. b , d >. -> ( g ` ( 2nd ` y ) ) = ( g ` d ) ) |
43 |
40 42
|
opeq12d |
|- ( y = <. b , d >. -> <. ( f ` ( 1st ` y ) ) , ( g ` ( 2nd ` y ) ) >. = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. ) |
44 |
43
|
eqeq2d |
|- ( y = <. b , d >. -> ( x = <. ( f ` ( 1st ` y ) ) , ( g ` ( 2nd ` y ) ) >. <-> x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. ) ) |
45 |
44
|
rexxp |
|- ( E. y e. ( B X. D ) x = <. ( f ` ( 1st ` y ) ) , ( g ` ( 2nd ` y ) ) >. <-> E. b e. B E. d e. D x = <. ( f ` b ) , ( g ` d ) >. ) |
46 |
36 45
|
sylibr |
|- ( ( ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) /\ x e. ( A X. C ) ) -> E. y e. ( B X. D ) x = <. ( f ` ( 1st ` y ) ) , ( g ` ( 2nd ` y ) ) >. ) |
47 |
46
|
adantll |
|- ( ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) /\ x e. ( A X. C ) ) -> E. y e. ( B X. D ) x = <. ( f ` ( 1st ` y ) ) , ( g ` ( 2nd ` y ) ) >. ) |
48 |
10 15 47
|
wdom2d |
|- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) /\ ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) /\ A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) ) ) -> ( A X. C ) ~<_* ( B X. D ) ) |
49 |
48
|
expr |
|- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) /\ A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) ) -> ( A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( A X. C ) ~<_* ( B X. D ) ) ) |
50 |
49
|
exlimdv |
|- ( ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) /\ A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) ) -> ( E. g A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( A X. C ) ~<_* ( B X. D ) ) ) |
51 |
50
|
ex |
|- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> ( A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) -> ( E. g A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( A X. C ) ~<_* ( B X. D ) ) ) ) |
52 |
51
|
exlimdv |
|- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> ( E. f A. a e. A E. b e. B a = ( f ` b ) -> ( E. g A. c e. C E. d e. D c = ( g ` d ) -> ( A X. C ) ~<_* ( B X. D ) ) ) ) |
53 |
2 4 52
|
mp2d |
|- ( ( A ~<_* B /\ C ~<_* D ) -> ( A X. C ) ~<_* ( B X. D ) ) |