Theorem avglt1

Description: Ordering property for average. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2014)

	Ref	Expression
Assertion	avglt1	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(A<B\leftrightarrow A<\frac{A+B}{2}\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltadd2	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\wedge A\in ℝ\right)\to \left(A<B\leftrightarrow A+A<A+B\right)$$
2	1	3anidm13	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(A<B\leftrightarrow A+A<A+B\right)$$
3		simpl	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to A\in ℝ$$
4	3	recnd	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to A\in ℂ$$
5		times2	$$⊢A\in ℂ\to A\cdot 2=A+A$$
6	4 5	syl	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to A\cdot 2=A+A$$
7	6	breq1d	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(A\cdot 2<A+B\leftrightarrow A+A<A+B\right)$$
8		readdcl	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to A+B\in ℝ$$
9		2re	$$⊢2\in ℝ$$
10		2pos	$$⊢0<2$$
11	9 10	pm3.2i	$$⊢\left(2\in ℝ\wedge 0<2\right)$$
12	11	a1i	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(2\in ℝ\wedge 0<2\right)$$
13		ltmuldiv	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge A+B\in ℝ\wedge \left(2\in ℝ\wedge 0<2\right)\right)\to \left(A\cdot 2<A+B\leftrightarrow A<\frac{A+B}{2}\right)$$
14	3 8 12 13	syl3anc	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(A\cdot 2<A+B\leftrightarrow A<\frac{A+B}{2}\right)$$
15	2 7 14	3bitr2d	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge B\in ℝ\right)\to \left(A<B\leftrightarrow A<\frac{A+B}{2}\right)$$