Database
ZF (ZERMELO-FRAENKEL) SET THEORY
ZF Set Theory - add the Axiom of Replacement
Introduce the Axiom of Replacement
axreplem
Next ⟩
axrep2
Metamath Proof Explorer
Ascii
Unicode
Theorem
axreplem
Description:
Lemma for
axrep2
and
axrep3
.
(Contributed by
BJ
, 6-Aug-2022)
Ref
Expression
Assertion
axreplem
⊢
x
=
y
→
∃
u
φ
→
∀
v
ψ
↔
∃
w
z
∈
x
∧
χ
↔
∃
u
φ
→
∀
v
ψ
↔
∃
w
z
∈
y
∧
χ
Proof
Step
Hyp
Ref
Expression
1
elequ2
⊢
x
=
y
→
z
∈
x
↔
z
∈
y
2
1
anbi1d
⊢
x
=
y
→
z
∈
x
∧
χ
↔
z
∈
y
∧
χ
3
2
exbidv
⊢
x
=
y
→
∃
w
z
∈
x
∧
χ
↔
∃
w
z
∈
y
∧
χ
4
3
bibi2d
⊢
x
=
y
→
ψ
↔
∃
w
z
∈
x
∧
χ
↔
ψ
↔
∃
w
z
∈
y
∧
χ
5
4
albidv
⊢
x
=
y
→
∀
v
ψ
↔
∃
w
z
∈
x
∧
χ
↔
∀
v
ψ
↔
∃
w
z
∈
y
∧
χ
6
5
imbi2d
⊢
x
=
y
→
φ
→
∀
v
ψ
↔
∃
w
z
∈
x
∧
χ
↔
φ
→
∀
v
ψ
↔
∃
w
z
∈
y
∧
χ
7
6
exbidv
⊢
x
=
y
→
∃
u
φ
→
∀
v
ψ
↔
∃
w
z
∈
x
∧
χ
↔
∃
u
φ
→
∀
v
ψ
↔
∃
w
z
∈
y
∧
χ