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Theorem cdlemg12c

Description: The triples <. P , ( FP ) , ( F( GP ) ) >. and <. Q , ( FQ ) , ( F( GQ ) ) >. are axially perspective by dalaw . TODO: FIX COMMENT. (Contributed by NM, 5-May-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg12.l ⊢ ≤ ˙ = ≤ K
cdlemg12.j ⊢ ∨ ˙ = join ⁡ K
cdlemg12.m ⊢ ∧ ˙ = meet ⁡ K
cdlemg12.a ⊢ A = Atoms ⁡ K
cdlemg12.h ⊢ H = LHyp ⁡ K
cdlemg12.t ⊢ T = LTrn ⁡ K ⁡ W
cdlemg12b.r ⊢ R = trL ⁡ K ⁡ W
Assertion cdlemg12c ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → P ∨ ˙ G ⁡ P ∧ ˙ Q ∨ ˙ G ⁡ Q ≤ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∧ ˙ G ⁡ Q ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ P ∧ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ∨ ˙ Q

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg12.l ⊢ ≤ ˙ = ≤ K
2 cdlemg12.j ⊢ ∨ ˙ = join ⁡ K
3 cdlemg12.m ⊢ ∧ ˙ = meet ⁡ K
4 cdlemg12.a ⊢ A = Atoms ⁡ K
5 cdlemg12.h ⊢ H = LHyp ⁡ K
6 cdlemg12.t ⊢ T = LTrn ⁡ K ⁡ W
7 cdlemg12b.r ⊢ R = trL ⁡ K ⁡ W
8 1 2 3 4 5 6 7 cdlemg12b ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → P ∨ ˙ Q ∧ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ G ⁡ Q ≤ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q
9 simp1l ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → K ∈ HL
10 simp21l ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → P ∈ A
11 simp1 ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → K ∈ HL ∧ W ∈ H
12 simp31 ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → G ∈ T
13 1 4 5 6 ltrnat ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ G ∈ T ∧ P ∈ A → G ⁡ P ∈ A
14 11 12 10 13 syl3anc ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → G ⁡ P ∈ A
15 simp23 ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → F ∈ T
16 1 4 5 6 ltrnat ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ F ∈ T ∧ G ⁡ P ∈ A → F ⁡ G ⁡ P ∈ A
17 11 15 14 16 syl3anc ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → F ⁡ G ⁡ P ∈ A
18 simp22l ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → Q ∈ A
19 1 4 5 6 ltrnat ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ G ∈ T ∧ Q ∈ A → G ⁡ Q ∈ A
20 11 12 18 19 syl3anc ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → G ⁡ Q ∈ A
21 1 4 5 6 ltrncoat ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ Q ∈ A → F ⁡ G ⁡ Q ∈ A
22 11 15 12 18 21 syl121anc ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → F ⁡ G ⁡ Q ∈ A
23 1 2 3 4 dalaw ⊢ K ∈ HL ∧ P ∈ A ∧ G ⁡ P ∈ A ∧ F ⁡ G ⁡ P ∈ A ∧ Q ∈ A ∧ G ⁡ Q ∈ A ∧ F ⁡ G ⁡ Q ∈ A → P ∨ ˙ Q ∧ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ G ⁡ Q ≤ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q → P ∨ ˙ G ⁡ P ∧ ˙ Q ∨ ˙ G ⁡ Q ≤ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∧ ˙ G ⁡ Q ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ P ∧ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ∨ ˙ Q
24 9 10 14 17 18 20 22 23 syl133anc ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → P ∨ ˙ Q ∧ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ G ⁡ Q ≤ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q → P ∨ ˙ G ⁡ P ∧ ˙ Q ∨ ˙ G ⁡ Q ≤ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∧ ˙ G ⁡ Q ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ P ∧ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ∨ ˙ Q
25 8 24 mpd ⊢ K ∈ HL ∧ W ∈ H ∧ P ∈ A ∧ ¬ P ≤ ˙ W ∧ Q ∈ A ∧ ¬ Q ≤ ˙ W ∧ F ∈ T ∧ G ∈ T ∧ P ≠ Q ∧ ¬ R ⁡ G ≤ ˙ P ∨ ˙ Q → P ∨ ˙ G ⁡ P ∧ ˙ Q ∨ ˙ G ⁡ Q ≤ ˙ G ⁡ P ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∧ ˙ G ⁡ Q ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ∨ ˙ F ⁡ G ⁡ P ∨ ˙ P ∧ ˙ F ⁡ G ⁡ Q ∨ ˙ Q