Theorem disjeccnvep

Description: Property of the epsilon relation. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Apr-2020)

	Ref	Expression
Assertion	disjeccnvep	$$⊢\left(A\in V\wedge B\in W\right)\to \left(\left[A\right]{\mathrm{E}}^{-1}\cap \left[B\right]{\mathrm{E}}^{-1}=\varnothing \leftrightarrow A\cap B=\varnothing \right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eccnvep	$$⊢A\in V\to \left[A\right]{\mathrm{E}}^{-1}=A$$
2		eccnvep	$$⊢B\in W\to \left[B\right]{\mathrm{E}}^{-1}=B$$
3	1 2	ineqan12d	$$⊢\left(A\in V\wedge B\in W\right)\to \left[A\right]{\mathrm{E}}^{-1}\cap \left[B\right]{\mathrm{E}}^{-1}=A\cap B$$
4	3	eqeq1d	$$⊢\left(A\in V\wedge B\in W\right)\to \left(\left[A\right]{\mathrm{E}}^{-1}\cap \left[B\right]{\mathrm{E}}^{-1}=\varnothing \leftrightarrow A\cap B=\varnothing \right)$$