Theorem imasubclem2

Description: Lemma for imasubc . (Contributed by Zhi Wang, 7-Nov-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	imasubclem1.f	$$⊢\phi \to F\in V$$
	imasubclem1.g	$$⊢\phi \to G\in W$$
	imasubclem2.k	$$⊢K=\left(y\in X,z\in Y⟼\bigcup _{x\in F^{-1}\left[A\right]\times G^{-1}\left[B\right]}H\left(C\right)\left[D\right]\right)$$
Assertion	imasubclem2	$$⊢\phi \to KFn\left(X\times Y\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasubclem1.f	$$⊢\phi \to F\in V$$
2		imasubclem1.g	$$⊢\phi \to G\in W$$
3		imasubclem2.k	$$⊢K=\left(y\in X,z\in Y⟼\bigcup _{x\in F^{-1}\left[A\right]\times G^{-1}\left[B\right]}H\left(C\right)\left[D\right]\right)$$
4	1 2	imasubclem1	$$⊢\phi \to \bigcup _{x\in F^{-1}\left[A\right]\times G^{-1}\left[B\right]}H\left(C\right)\left[D\right]\in \mathrm{V}$$
5	4	adantr	$$⊢\left(\phi \wedge \left(y\in X\wedge z\in Y\right)\right)\to \bigcup _{x\in F^{-1}\left[A\right]\times G^{-1}\left[B\right]}H\left(C\right)\left[D\right]\in \mathrm{V}$$
6	5	ralrimivva	$$⊢\phi \to \forall y\in X\forall z\in Y\bigcup _{x\in F^{-1}\left[A\right]\times G^{-1}\left[B\right]}H\left(C\right)\left[D\right]\in \mathrm{V}$$
7	3	fnmpo	$$⊢\forall y\in X\forall z\in Y\bigcup _{x\in F^{-1}\left[A\right]\times G^{-1}\left[B\right]}H\left(C\right)\left[D\right]\in \mathrm{V}\to KFn\left(X\times Y\right)$$
8	6 7	syl	$$⊢\phi \to KFn\left(X\times Y\right)$$