Metamath Proof Explorer

Theorem iunxpf

Description: Indexed union on a Cartesian product equals a double indexed union. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 19-Dec-2008)

Ref Expression
Hypotheses iunxpf.1 ⊢ Ⅎ _ y C
iunxpf.2 ⊢ Ⅎ _ z C
iunxpf.3 ⊢ Ⅎ _ x D
iunxpf.4 ⊢ x = y z → C = D
Assertion iunxpf ⊢ ⋃ x ∈ A × B C = ⋃ y ∈ A ⋃ z ∈ B D

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iunxpf.1 ⊢ Ⅎ _ y C
2 iunxpf.2 ⊢ Ⅎ _ z C
3 iunxpf.3 ⊢ Ⅎ _ x D
4 iunxpf.4 ⊢ x = y z → C = D
5 1 nfcri ⊢ Ⅎ y w ∈ C
6 2 nfcri ⊢ Ⅎ z w ∈ C
7 3 nfcri ⊢ Ⅎ x w ∈ D
8 4 eleq2d ⊢ x = y z → w ∈ C ↔ w ∈ D
9 5 6 7 8 rexxpf ⊢ ∃ x ∈ A × B w ∈ C ↔ ∃ y ∈ A ∃ z ∈ B w ∈ D
10 eliun ⊢ w ∈ ⋃ x ∈ A × B C ↔ ∃ x ∈ A × B w ∈ C
11 eliun ⊢ w ∈ ⋃ y ∈ A ⋃ z ∈ B D ↔ ∃ y ∈ A w ∈ ⋃ z ∈ B D
12 eliun ⊢ w ∈ ⋃ z ∈ B D ↔ ∃ z ∈ B w ∈ D
13 12 rexbii ⊢ ∃ y ∈ A w ∈ ⋃ z ∈ B D ↔ ∃ y ∈ A ∃ z ∈ B w ∈ D
14 11 13 bitri ⊢ w ∈ ⋃ y ∈ A ⋃ z ∈ B D ↔ ∃ y ∈ A ∃ z ∈ B w ∈ D
15 9 10 14 3bitr4i ⊢ w ∈ ⋃ x ∈ A × B C ↔ w ∈ ⋃ y ∈ A ⋃ z ∈ B D
16 15 eqriv ⊢ ⋃ x ∈ A × B C = ⋃ y ∈ A ⋃ z ∈ B D