Metamath Proof Explorer


Theorem latj31

Description: Swap 2nd and 3rd members of lattice join. Lemma 2.2 in MegPav2002 p. 362. (Contributed by NM, 23-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses latjass.b B = Base K
latjass.j ˙ = join K
Assertion latj31 K Lat X B Y B Z B X ˙ Y ˙ Z = Z ˙ Y ˙ X

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latjass.b B = Base K
2 latjass.j ˙ = join K
3 simpl K Lat X B Y B Z B K Lat
4 simpr3 K Lat X B Y B Z B Z B
5 simpr1 K Lat X B Y B Z B X B
6 simpr2 K Lat X B Y B Z B Y B
7 1 2 latj12 K Lat Z B X B Y B Z ˙ X ˙ Y = X ˙ Z ˙ Y
8 3 4 5 6 7 syl13anc K Lat X B Y B Z B Z ˙ X ˙ Y = X ˙ Z ˙ Y
9 1 2 latjcl K Lat X B Y B X ˙ Y B
10 9 3adant3r3 K Lat X B Y B Z B X ˙ Y B
11 1 2 latjcom K Lat X ˙ Y B Z B X ˙ Y ˙ Z = Z ˙ X ˙ Y
12 3 10 4 11 syl3anc K Lat X B Y B Z B X ˙ Y ˙ Z = Z ˙ X ˙ Y
13 1 2 latjcl K Lat Z B Y B Z ˙ Y B
14 3 4 6 13 syl3anc K Lat X B Y B Z B Z ˙ Y B
15 1 2 latjcom K Lat Z ˙ Y B X B Z ˙ Y ˙ X = X ˙ Z ˙ Y
16 3 14 5 15 syl3anc K Lat X B Y B Z B Z ˙ Y ˙ X = X ˙ Z ˙ Y
17 8 12 16 3eqtr4d K Lat X B Y B Z B X ˙ Y ˙ Z = Z ˙ Y ˙ X