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Theorem latj31

Description: Swap 2nd and 3rd members of lattice join. Lemma 2.2 in MegPav2002 p. 362. (Contributed by NM, 23-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses latjass.b ⊢ B = Base K
latjass.j ⊢ ∨ ˙ = join ⁡ K
Assertion latj31 ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → X ∨ ˙ Y ∨ ˙ Z = Z ∨ ˙ Y ∨ ˙ X

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 latjass.b ⊢ B = Base K
2 latjass.j ⊢ ∨ ˙ = join ⁡ K
3 simpl ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → K ∈ Lat
4 simpr3 ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → Z ∈ B
5 simpr1 ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → X ∈ B
6 simpr2 ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → Y ∈ B
7 1 2 latj12 ⊢ K ∈ Lat ∧ Z ∈ B ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → Z ∨ ˙ X ∨ ˙ Y = X ∨ ˙ Z ∨ ˙ Y
8 3 4 5 6 7 syl13anc ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → Z ∨ ˙ X ∨ ˙ Y = X ∨ ˙ Z ∨ ˙ Y
9 1 2 latjcl ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B → X ∨ ˙ Y ∈ B
10 9 3adant3r3 ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → X ∨ ˙ Y ∈ B
11 1 2 latjcom ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∨ ˙ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → X ∨ ˙ Y ∨ ˙ Z = Z ∨ ˙ X ∨ ˙ Y
12 3 10 4 11 syl3anc ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → X ∨ ˙ Y ∨ ˙ Z = Z ∨ ˙ X ∨ ˙ Y
13 1 2 latjcl ⊢ K ∈ Lat ∧ Z ∈ B ∧ Y ∈ B → Z ∨ ˙ Y ∈ B
14 3 4 6 13 syl3anc ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → Z ∨ ˙ Y ∈ B
15 1 2 latjcom ⊢ K ∈ Lat ∧ Z ∨ ˙ Y ∈ B ∧ X ∈ B → Z ∨ ˙ Y ∨ ˙ X = X ∨ ˙ Z ∨ ˙ Y
16 3 14 5 15 syl3anc ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → Z ∨ ˙ Y ∨ ˙ X = X ∨ ˙ Z ∨ ˙ Y
17 8 12 16 3eqtr4d ⊢ K ∈ Lat ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → X ∨ ˙ Y ∨ ˙ Z = Z ∨ ˙ Y ∨ ˙ X