Theorem latj31

Description: Swap 2nd and 3rd members of lattice join. Lemma 2.2 in MegPav2002 p. 362. (Contributed by NM, 23-Jun-2012)

	Ref	Expression
Hypotheses	latjass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
	latjass.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
Assertion	latj31	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ 𝑍 ) = ( ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∨ 𝑋 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjass.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2		latjass.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		simpl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
4		simpr3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑍 ∈ 𝐵 )
5		simpr1	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑋 ∈ 𝐵 )
6		simpr2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → 𝑌 ∈ 𝐵 )
7	1 2	latj12	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 ∨ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 ∨ ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ) )
8	3 4 5 6 7	syl13anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 ∨ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) = ( 𝑋 ∨ ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ) )
9	1 2	latjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
10	9	3adant3r3	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
11	1 2	latjcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∨ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) )
12	3 10 4 11	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ 𝑍 ) = ( 𝑍 ∨ ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ) )
13	1 2	latjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
14	3 4 6 13	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 )
15	1 2	latjcom	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∨ 𝑋 ) = ( 𝑋 ∨ ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ) )
16	3 14 5 15	syl3anc	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∨ 𝑋 ) = ( 𝑋 ∨ ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ) )
17	8 12 16	3eqtr4d	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑋 ∨ 𝑌 ) ∨ 𝑍 ) = ( ( 𝑍 ∨ 𝑌 ) ∨ 𝑋 ) )