Theorem mpladd

Description: The addition operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	mpladd.p	$$⊢P=I\mathrm{mPoly}R$$
	mpladd.b	$$⊢B={\mathrm{Base}}_P$$
	mpladd.a	$$⊢\underset{\dot{}}{+}={+}_R$$
	mpladd.g	$$⊢\underset{\dot{}}{✚}={+}_P$$
	mpladd.x	$$⊢\phi \to X\in B$$
	mpladd.y	$$⊢\phi \to Y\in B$$
Assertion	mpladd	$$⊢\phi \to X\underset{\dot{}}{✚}Y=X{\underset{\dot{}}{+}}_{f}Y$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpladd.p	$$⊢P=I\mathrm{mPoly}R$$
2		mpladd.b	$$⊢B={\mathrm{Base}}_P$$
3		mpladd.a	$$⊢\underset{\dot{}}{+}={+}_R$$
4		mpladd.g	$$⊢\underset{\dot{}}{✚}={+}_P$$
5		mpladd.x	$$⊢\phi \to X\in B$$
6		mpladd.y	$$⊢\phi \to Y\in B$$
7		eqid	$$⊢I\mathrm{mPwSer}R=I\mathrm{mPwSer}R$$
8		eqid	$$⊢{\mathrm{Base}}_{\left(I\mathrm{mPwSer}R\right)}={\mathrm{Base}}_{\left(I\mathrm{mPwSer}R\right)}$$
9	1 7 4	mplplusg	$$⊢\underset{\dot{}}{✚}={+}_{\left(I\mathrm{mPwSer}R\right)}$$
10	1 7 2 8	mplbasss	$$⊢B\subseteq {\mathrm{Base}}_{\left(I\mathrm{mPwSer}R\right)}$$
11	10 5	sselid	$$⊢\phi \to X\in {\mathrm{Base}}_{\left(I\mathrm{mPwSer}R\right)}$$
12	10 6	sselid	$$⊢\phi \to Y\in {\mathrm{Base}}_{\left(I\mathrm{mPwSer}R\right)}$$
13	7 8 3 9 11 12	psradd	$$⊢\phi \to X\underset{\dot{}}{✚}Y=X{\underset{\dot{}}{+}}_{f}Y$$