Theorem ne0gt0

Description: A nonzero nonnegative number is positive. (Contributed by NM, 20-Nov-2007)

	Ref	Expression
Assertion	ne0gt0	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge 0\le A\right)\to \left(A\ne 0\leftrightarrow 0<A\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re	$$⊢0\in ℝ$$
2		lttri2	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge 0\in ℝ\right)\to \left(A\ne 0\leftrightarrow \left(A<0\vee 0<A\right)\right)$$
3	1 2	mpan2	$$⊢A\in ℝ\to \left(A\ne 0\leftrightarrow \left(A<0\vee 0<A\right)\right)$$
4	3	adantr	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge 0\le A\right)\to \left(A\ne 0\leftrightarrow \left(A<0\vee 0<A\right)\right)$$
5		lenlt	$$⊢\left(0\in ℝ\wedge A\in ℝ\right)\to \left(0\le A\leftrightarrow \neg A<0\right)$$
6	1 5	mpan	$$⊢A\in ℝ\to \left(0\le A\leftrightarrow \neg A<0\right)$$
7	6	biimpa	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge 0\le A\right)\to \neg A<0$$
8		biorf	$$⊢\neg A<0\to \left(0<A\leftrightarrow \left(A<0\vee 0<A\right)\right)$$
9	7 8	syl	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge 0\le A\right)\to \left(0<A\leftrightarrow \left(A<0\vee 0<A\right)\right)$$
10	4 9	bitr4d	$$⊢\left(A\in ℝ\wedge 0\le A\right)\to \left(A\ne 0\leftrightarrow 0<A\right)$$