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Theorem pltletr

Description: Transitive law for chained "less than" and "less than or equal to". ( psssstr analog.) (Contributed by NM, 2-Dec-2011)

Ref Expression
Hypotheses pltletr.b ⊢ B = Base K
pltletr.l ⊢ ≤ ˙ = ≤ K
pltletr.s ⊢ < ˙ = < K
Assertion pltletr ⊢ K ∈ Poset ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → X < ˙ Y ∧ Y ≤ ˙ Z → X < ˙ Z

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pltletr.b ⊢ B = Base K
2 pltletr.l ⊢ ≤ ˙ = ≤ K
3 pltletr.s ⊢ < ˙ = < K
4 1 2 3 pleval2 ⊢ K ∈ Poset ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → Y ≤ ˙ Z ↔ Y < ˙ Z ∨ Y = Z
5 4 3adant3r1 ⊢ K ∈ Poset ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → Y ≤ ˙ Z ↔ Y < ˙ Z ∨ Y = Z
6 5 adantr ⊢ K ∈ Poset ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ X < ˙ Y → Y ≤ ˙ Z ↔ Y < ˙ Z ∨ Y = Z
7 1 3 plttr ⊢ K ∈ Poset ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → X < ˙ Y ∧ Y < ˙ Z → X < ˙ Z
8 7 expdimp ⊢ K ∈ Poset ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ X < ˙ Y → Y < ˙ Z → X < ˙ Z
9 breq2 ⊢ Y = Z → X < ˙ Y ↔ X < ˙ Z
10 9 biimpcd ⊢ X < ˙ Y → Y = Z → X < ˙ Z
11 10 adantl ⊢ K ∈ Poset ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ X < ˙ Y → Y = Z → X < ˙ Z
12 8 11 jaod ⊢ K ∈ Poset ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ X < ˙ Y → Y < ˙ Z ∨ Y = Z → X < ˙ Z
13 6 12 sylbid ⊢ K ∈ Poset ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B ∧ X < ˙ Y → Y ≤ ˙ Z → X < ˙ Z
14 13 expimpd ⊢ K ∈ Poset ∧ X ∈ B ∧ Y ∈ B ∧ Z ∈ B → X < ˙ Y ∧ Y ≤ ˙ Z → X < ˙ Z