Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2dim.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
2dim.c |
⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
2dim.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
1 2 3
|
2dim |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) 𝐶 ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
5 |
|
r19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) 𝐶 ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ↔ ( 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) 𝐶 ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
6 |
5
|
simplbi |
⊢ ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) 𝐶 ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) → 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) |
7 |
6
|
reximi |
⊢ ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) 𝐶 ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) |
8 |
4 7
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) |