Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2dim.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
2dim.c |
⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
2dim.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 ) |
5 |
1 4 3
|
3dim1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
6 |
|
df-3an |
⊢ ( ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ∧ ¬ 𝑠 ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
7 |
6
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ↔ ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ∧ ¬ 𝑠 ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
8 |
|
r19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ∧ ¬ 𝑠 ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠 ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
9 |
7 8
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ↔ ( ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ∧ ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ¬ 𝑠 ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
10 |
9
|
simplbi |
⊢ ( ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ) |
11 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ HL ) |
12 |
|
hlatl |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat ) |
13 |
11 12
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → 𝐾 ∈ AtLat ) |
14 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → 𝑞 ∈ 𝐴 ) |
15 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
16 |
4 3
|
atncmp |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃 ) ) |
17 |
13 14 15 16
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑃 ↔ 𝑞 ≠ 𝑃 ) ) |
18 |
|
necom |
⊢ ( 𝑞 ≠ 𝑃 ↔ 𝑃 ≠ 𝑞 ) |
19 |
17 18
|
bitr2di |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ≠ 𝑞 ↔ ¬ 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑃 ) ) |
20 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
21 |
20 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
22 |
15 21
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
23 |
20 4 1 2 3
|
cvr1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑃 ↔ 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ) |
24 |
11 22 14 23
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑞 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑃 ↔ 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ) |
25 |
19 24
|
bitrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ≠ 𝑞 ↔ 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ) |
26 |
20 1 3
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
27 |
11 15 14 26
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
28 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → 𝑟 ∈ 𝐴 ) |
29 |
20 4 1 2 3
|
cvr1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) 𝐶 ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
30 |
11 27 28 29
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ↔ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) 𝐶 ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
31 |
25 30
|
anbi12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ) ↔ ( 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) 𝐶 ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
32 |
10 31
|
syl5ib |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑟 ∈ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) → ( 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) 𝐶 ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
33 |
32
|
reximdva |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) → ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) 𝐶 ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
34 |
33
|
reximdva |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ( le ‘ 𝐾 ) ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ( le ‘ 𝐾 ) ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) 𝐶 ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
35 |
5 34
|
mpd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ( 𝑃 𝐶 ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) 𝐶 ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |