Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3dim0.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
3dim0.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
3dim0.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
1 2 3
|
3dim0 |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ∃ 𝑡 ∈ 𝐴 ∃ 𝑢 ∈ 𝐴 ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) |
5 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑡 ∈ 𝐴 ∃ 𝑢 ∈ 𝐴 ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) |
6 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑃 = 𝑡 ) → ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) |
7 |
1 2 3
|
3dimlem1 |
⊢ ( ( ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ∧ 𝑃 = 𝑡 ) → ( 𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) |
8 |
7
|
3ad2antl3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑃 = 𝑡 ) → ( 𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) |
9 |
1 2 3
|
3dim1lem5 |
⊢ ( ( ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
10 |
6 8 9
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑃 = 𝑡 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
11 |
|
simp13 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → 𝑡 ∈ 𝐴 ) |
12 |
|
simp22 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → 𝑣 ∈ 𝐴 ) |
13 |
|
simp23 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → 𝑤 ∈ 𝐴 ) |
14 |
11 12 13
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) |
15 |
14
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡 ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) → ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) |
16 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡 ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ) |
17 |
|
simp21 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → 𝑢 ∈ 𝐴 ) |
18 |
|
simp32 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) |
19 |
|
simp33 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) |
20 |
17 18 19
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) |
21 |
20
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡 ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) → ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) |
22 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡 ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑡 ) |
23 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡 ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) → 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) |
24 |
1 2 3
|
3dimlem2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∨ 𝑣 ) ) ) |
25 |
16 21 22 23 24
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡 ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∨ 𝑣 ) ) ) |
26 |
1 2 3
|
3dim1lem5 |
⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
27 |
15 25 26
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡 ) ∧ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
28 |
11 17 13
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) |
29 |
28
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ) |
30 |
|
simp1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ) |
31 |
17 12
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ) |
32 |
|
simp31 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → 𝑡 ≠ 𝑢 ) |
33 |
32 19
|
jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) |
34 |
30 31 33
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ) |
35 |
34
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ) |
36 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → 𝑃 ≠ 𝑡 ) |
37 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) |
38 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) |
39 |
1 2 3
|
3dimlem3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∨ 𝑢 ) ) ) |
40 |
35 36 37 38 39
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∨ 𝑢 ) ) ) |
41 |
1 2 3
|
3dim1lem5 |
⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∨ 𝑢 ) ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
42 |
29 40 41
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
43 |
11 17 12
|
3jca |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ) |
44 |
43
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ) |
45 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ) |
46 |
|
simpl21 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) → 𝑢 ∈ 𝐴 ) |
47 |
|
simpl22 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) → 𝑣 ∈ 𝐴 ) |
48 |
46 47
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) → ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ) |
49 |
|
simpl31 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) → 𝑡 ≠ 𝑢 ) |
50 |
|
simpl32 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) → ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) |
51 |
49 50
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) → ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) |
52 |
45 48 51
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ) |
53 |
52
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ) |
54 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) |
55 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) |
56 |
1 2 3
|
3dimlem4 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∨ 𝑢 ) ) ) |
57 |
53 54 55 56
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∨ 𝑢 ) ) ) |
58 |
1 2 3
|
3dim1lem5 |
⊢ ( ( ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑢 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑡 ) ∨ 𝑢 ) ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
59 |
44 57 58
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
60 |
42 59
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ ( 𝑃 ≠ 𝑡 ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
61 |
60
|
anassrs |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
62 |
27 61
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑡 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
63 |
10 62
|
pm2.61dane |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |
64 |
63
|
3exp |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
65 |
64
|
3expd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑡 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑢 ∈ 𝐴 → ( 𝑣 ∈ 𝐴 → ( 𝑤 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) ) ) |
66 |
65
|
3exp |
⊢ ( 𝐾 ∈ HL → ( 𝑃 ∈ 𝐴 → ( 𝑡 ∈ 𝐴 → ( 𝑢 ∈ 𝐴 → ( 𝑣 ∈ 𝐴 → ( 𝑤 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) ) ) ) ) |
67 |
66
|
imp43 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑣 ∈ 𝐴 → ( 𝑤 ∈ 𝐴 → ( ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) ) |
68 |
67
|
impd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴 ) → ( ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) ) |
69 |
68
|
rexlimdvv |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑡 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢 ∈ 𝐴 ) ) → ( ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
70 |
69
|
rexlimdvva |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ( ∃ 𝑡 ∈ 𝐴 ∃ 𝑢 ∈ 𝐴 ∃ 𝑣 ∈ 𝐴 ∃ 𝑤 ∈ 𝐴 ( 𝑡 ≠ 𝑢 ∧ ¬ 𝑣 ≤ ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∧ ¬ 𝑤 ≤ ( ( 𝑡 ∨ 𝑢 ) ∨ 𝑣 ) ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) ) |
71 |
5 70
|
mpd |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ) → ∃ 𝑞 ∈ 𝐴 ∃ 𝑟 ∈ 𝐴 ∃ 𝑠 ∈ 𝐴 ( 𝑃 ≠ 𝑞 ∧ ¬ 𝑟 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∧ ¬ 𝑠 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑞 ) ∨ 𝑟 ) ) ) |