Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
2itscp.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
2itscp.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
3 |
|
2itscp.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ ) |
4 |
|
2itscp.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ ) |
5 |
|
2itscp.d |
⊢ 𝐷 = ( 𝑋 − 𝐴 ) |
6 |
|
2itscp.e |
⊢ 𝐸 = ( 𝐵 − 𝑌 ) |
7 |
2
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
8 |
4
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ ) |
9 |
7 8
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑌 ) ∈ ℂ ) |
10 |
6 9
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ ) |
11 |
10
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
12 |
7
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
13 |
11 12
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
14 |
3
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ ) |
15 |
1
|
recnd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
16 |
14 15
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
17 |
5 16
|
eqeltrid |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ ) |
18 |
17
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
19 |
15
|
sqcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
20 |
18 19
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
21 |
|
2cnd |
⊢ ( 𝜑 → 2 ∈ ℂ ) |
22 |
17 15
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
23 |
10 7
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 · 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
24 |
22 23
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ∈ ℂ ) |
25 |
21 24
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ ) |
26 |
13 20 25
|
addsubassd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) + ( ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) ) ) |
27 |
20 25
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℂ ) |
28 |
13 27
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) + ( ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) + ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) ) |
29 |
17 15
|
sqmuld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) |
30 |
29
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) ) |
31 |
30
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) ) |
32 |
10 7
|
sqmuld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 · 𝐵 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) |
33 |
32
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝐸 · 𝐵 ) ↑ 2 ) ) |
34 |
31 33
|
oveq12d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) + ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) + ( ( 𝐸 · 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) |
35 |
26 28 34
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) + ( ( 𝐸 · 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) |
36 |
|
binom2sub |
⊢ ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐸 · 𝐵 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) − ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) + ( ( 𝐸 · 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) |
37 |
22 23 36
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) − ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) + ( ( 𝐸 · 𝐵 ) ↑ 2 ) ) ) |
38 |
35 37
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) − ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ↑ 2 ) ) |