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Theorem 2itscplem1

Description: Lemma 1 for 2itscp . (Contributed by AV, 4-Mar-2023)

Ref Expression
Hypotheses 2itscp.a ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ )
2itscp.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ )
2itscp.x ( 𝜑𝑋 ∈ ℝ )
2itscp.y ( 𝜑𝑌 ∈ ℝ )
2itscp.d 𝐷 = ( 𝑋𝐴 )
2itscp.e 𝐸 = ( 𝐵𝑌 )
Assertion 2itscplem1 ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) − ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ↑ 2 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2itscp.a ( 𝜑𝐴 ∈ ℝ )
2 2itscp.b ( 𝜑𝐵 ∈ ℝ )
3 2itscp.x ( 𝜑𝑋 ∈ ℝ )
4 2itscp.y ( 𝜑𝑌 ∈ ℝ )
5 2itscp.d 𝐷 = ( 𝑋𝐴 )
6 2itscp.e 𝐸 = ( 𝐵𝑌 )
7 2 recnd ( 𝜑𝐵 ∈ ℂ )
8 4 recnd ( 𝜑𝑌 ∈ ℂ )
9 7 8 subcld ( 𝜑 → ( 𝐵𝑌 ) ∈ ℂ )
10 6 9 eqeltrid ( 𝜑𝐸 ∈ ℂ )
11 10 sqcld ( 𝜑 → ( 𝐸 ↑ 2 ) ∈ ℂ )
12 7 sqcld ( 𝜑 → ( 𝐵 ↑ 2 ) ∈ ℂ )
13 11 12 mulcld ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ )
14 3 recnd ( 𝜑𝑋 ∈ ℂ )
15 1 recnd ( 𝜑𝐴 ∈ ℂ )
16 14 15 subcld ( 𝜑 → ( 𝑋𝐴 ) ∈ ℂ )
17 5 16 eqeltrid ( 𝜑𝐷 ∈ ℂ )
18 17 sqcld ( 𝜑 → ( 𝐷 ↑ 2 ) ∈ ℂ )
19 15 sqcld ( 𝜑 → ( 𝐴 ↑ 2 ) ∈ ℂ )
20 18 19 mulcld ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ∈ ℂ )
21 2cnd ( 𝜑 → 2 ∈ ℂ )
22 17 15 mulcld ( 𝜑 → ( 𝐷 · 𝐴 ) ∈ ℂ )
23 10 7 mulcld ( 𝜑 → ( 𝐸 · 𝐵 ) ∈ ℂ )
24 22 23 mulcld ( 𝜑 → ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ∈ ℂ )
25 21 24 mulcld ( 𝜑 → ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ∈ ℂ )
26 13 20 25 addsubassd ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) + ( ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) ) )
27 20 25 subcld ( 𝜑 → ( ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) ∈ ℂ )
28 13 27 addcomd ( 𝜑 → ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) + ( ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) + ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) )
29 17 15 sqmuld ( 𝜑 → ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) )
30 29 eqcomd ( 𝜑 → ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) )
31 30 oveq1d ( 𝜑 → ( ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) )
32 10 7 sqmuld ( 𝜑 → ( ( 𝐸 · 𝐵 ) ↑ 2 ) = ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) )
33 32 eqcomd ( 𝜑 → ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) = ( ( 𝐸 · 𝐵 ) ↑ 2 ) )
34 31 33 oveq12d ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) + ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) + ( ( 𝐸 · 𝐵 ) ↑ 2 ) ) )
35 26 28 34 3eqtrd ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) + ( ( 𝐸 · 𝐵 ) ↑ 2 ) ) )
36 binom2sub ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐸 · 𝐵 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) − ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) + ( ( 𝐸 · 𝐵 ) ↑ 2 ) ) )
37 22 23 36 syl2anc ( 𝜑 → ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) − ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) ↑ 2 ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) + ( ( 𝐸 · 𝐵 ) ↑ 2 ) ) )
38 35 37 eqtr4d ( 𝜑 → ( ( ( ( 𝐸 ↑ 2 ) · ( 𝐵 ↑ 2 ) ) + ( ( 𝐷 ↑ 2 ) · ( 𝐴 ↑ 2 ) ) ) − ( 2 · ( ( 𝐷 · 𝐴 ) · ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ) ) = ( ( ( 𝐷 · 𝐴 ) − ( 𝐸 · 𝐵 ) ) ↑ 2 ) )