Theorem bj-rcleqf

Description: Relative version of cleqf . (Contributed by BJ, 27-Dec-2023)

	Ref	Expression
Hypotheses	bj-rcleqf.a	⊢ Ⅎ 𝑥 𝐴
	bj-rcleqf.b	⊢ Ⅎ 𝑥 𝐵
	bj-rcleqf.v	⊢ Ⅎ 𝑥 𝑉
Assertion	bj-rcleqf	⊢ ( ( 𝑉 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑉 ∩ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-rcleqf.a	⊢ Ⅎ 𝑥 𝐴
2		bj-rcleqf.b	⊢ Ⅎ 𝑥 𝐵
3		bj-rcleqf.v	⊢ Ⅎ 𝑥 𝑉
4		elin	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∩ 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) )
5		elin	⊢ ( 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∩ 𝐵 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )
6	4 5	bibi12i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∩ 𝐴 ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) )
7		pm5.32	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) )
8	6 7	bitr4i	⊢ ( ( 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∩ 𝐴 ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝑉 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) )
9	8	albii	⊢ ( ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∩ 𝐴 ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑉 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) )
10	3 1	nfin	⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑉 ∩ 𝐴 )
11	3 2	nfin	⊢ Ⅎ 𝑥 ( 𝑉 ∩ 𝐵 )
12	10 11	cleqf	⊢ ( ( 𝑉 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑉 ∩ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∩ 𝐴 ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝑉 ∩ 𝐵 ) ) )
13		df-ral	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝑉 → ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) )
14	9 12 13	3bitr4i	⊢ ( ( 𝑉 ∩ 𝐴 ) = ( 𝑉 ∩ 𝐵 ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑉 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ 𝐵 ) )