Theorem brcosscnv

Description: A and B are cosets by converse R : a binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 23-Jan-2019)

	Ref	Expression
Assertion	brcosscnv	⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( 𝐴 ≀ ◡ 𝑅 𝐵 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brcoss	⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( 𝐴 ≀ ◡ 𝑅 𝐵 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ◡ 𝑅 𝐴 ∧ 𝑥 ◡ 𝑅 𝐵 ) ) )
2		brcnvg	⊢ ( ( 𝑥 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑥 ◡ 𝑅 𝐴 ↔ 𝐴 𝑅 𝑥 ) )
3	2	el2v1	⊢ ( 𝐴 ∈ 𝑉 → ( 𝑥 ◡ 𝑅 𝐴 ↔ 𝐴 𝑅 𝑥 ) )
4		brcnvg	⊢ ( ( 𝑥 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( 𝑥 ◡ 𝑅 𝐵 ↔ 𝐵 𝑅 𝑥 ) )
5	4	el2v1	⊢ ( 𝐵 ∈ 𝑊 → ( 𝑥 ◡ 𝑅 𝐵 ↔ 𝐵 𝑅 𝑥 ) )
6	3 5	bi2anan9	⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( ( 𝑥 ◡ 𝑅 𝐴 ∧ 𝑥 ◡ 𝑅 𝐵 ) ↔ ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) )
7	6	exbidv	⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ◡ 𝑅 𝐴 ∧ 𝑥 ◡ 𝑅 𝐵 ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) )
8	1 7	bitrd	⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ) → ( 𝐴 ≀ ◡ 𝑅 𝐵 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝐴 𝑅 𝑥 ∧ 𝐵 𝑅 𝑥 ) ) )