Theorem btwnconn2

Description: Another connectivity law for betweenness. Theorem 5.2 of Schwabhauser p. 41. (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2013)

	Ref	Expression
Assertion	btwnconn2	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		btwnconn1	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) ) )
2		simpr2	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) → 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ )
3	2	anim1i	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) → ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) )
4		btwnexch3	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) → 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ ) )
5	4	ad2antrr	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) → ( ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) → 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ ) )
6	3 5	mpd	⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) → 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ )
7	6	ex	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ → 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ ) )
8		simpr3	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) → 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ )
9		simp3r	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
10		simp3l	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
11	9 10	jca	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
12		btwnexch3	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) → 𝐷 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
13	11 12	syld3an3	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) → 𝐷 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
14	13	adantr	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) → ( ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∧ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) → 𝐷 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
15	8 14	mpand	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) → ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ → 𝐷 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) )
16	7 15	orim12d	⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) → ( ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) )
17	16	ex	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) → ( ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) ) )
18	1 17	mpdd	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐵 , 𝐶 ⟩ ) ) )