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Theorem cdleme3e

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Lemma leading to cdleme3fa and cdleme3 . (Contributed by NM, 6-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme1.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme1.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme1.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme1.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme1.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme1.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
cdleme1.f 𝐹 = ( ( 𝑅 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑅 ) 𝑊 ) ) )
cdleme3.3 𝑉 = ( ( 𝑃 𝑅 ) 𝑊 )
Assertion cdleme3e ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → 𝑉𝐴 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme1.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdleme1.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdleme1.m = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdleme1.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdleme1.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdleme1.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
7 cdleme1.f 𝐹 = ( ( 𝑅 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑅 ) 𝑊 ) ) )
8 cdleme3.3 𝑉 = ( ( 𝑃 𝑅 ) 𝑊 )
9 simpl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
10 simpr1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
11 simpr3l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → 𝑅𝐴 )
12 hllat ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat )
13 12 ad2antrr ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
14 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
15 14 4 atbase ( 𝑅𝐴𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 11 15 syl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17 simpr1l ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → 𝑃𝐴 )
18 14 4 atbase ( 𝑃𝐴𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 17 18 syl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20 simpr2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → 𝑄𝐴 )
21 14 4 atbase ( 𝑄𝐴𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 20 21 syl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 simpr3r ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) )
24 14 1 2 latnlej1l ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑅𝑃 )
25 13 16 19 22 23 24 syl131anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → 𝑅𝑃 )
26 25 necomd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → 𝑃𝑅 )
27 1 2 3 4 5 lhpat ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐴𝑃𝑅 ) ) → ( ( 𝑃 𝑅 ) 𝑊 ) ∈ 𝐴 )
28 9 10 11 26 27 syl112anc ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → ( ( 𝑃 𝑅 ) 𝑊 ) ∈ 𝐴 )
29 8 28 eqeltrid ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑄𝐴 ∧ ( 𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ) → 𝑉𝐴 )