Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme1.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdleme1.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdleme1.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdleme1.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdleme1.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdleme1.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
7 |
|
cdleme1.f |
|- F = ( ( R .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ R ) ./\ W ) ) ) |
8 |
|
cdleme3.3 |
|- V = ( ( P .\/ R ) ./\ W ) |
9 |
|
simpl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
10 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
11 |
|
simpr3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> R e. A ) |
12 |
|
hllat |
|- ( K e. HL -> K e. Lat ) |
13 |
12
|
ad2antrr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> K e. Lat ) |
14 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
15 |
14 4
|
atbase |
|- ( R e. A -> R e. ( Base ` K ) ) |
16 |
11 15
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> R e. ( Base ` K ) ) |
17 |
|
simpr1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P e. A ) |
18 |
14 4
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) ) |
19 |
17 18
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P e. ( Base ` K ) ) |
20 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> Q e. A ) |
21 |
14 4
|
atbase |
|- ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) ) |
22 |
20 21
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> Q e. ( Base ` K ) ) |
23 |
|
simpr3r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) |
24 |
14 1 2
|
latnlej1l |
|- ( ( K e. Lat /\ ( R e. ( Base ` K ) /\ P e. ( Base ` K ) /\ Q e. ( Base ` K ) ) /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> R =/= P ) |
25 |
13 16 19 22 23 24
|
syl131anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> R =/= P ) |
26 |
25
|
necomd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> P =/= R ) |
27 |
1 2 3 4 5
|
lhpat |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( R e. A /\ P =/= R ) ) -> ( ( P .\/ R ) ./\ W ) e. A ) |
28 |
9 10 11 26 27
|
syl112anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> ( ( P .\/ R ) ./\ W ) e. A ) |
29 |
8 28
|
eqeltrid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( R e. A /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) -> V e. A ) |