Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lhpat.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
lhpat.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
lhpat.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
lhpat.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
lhpat.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> K e. HL ) |
7 |
|
simp2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> P e. A ) |
8 |
|
simp3l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> Q e. A ) |
9 |
|
simp1r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> W e. H ) |
10 |
|
eqid |
|- ( Base ` K ) = ( Base ` K ) |
11 |
10 5
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. ( Base ` K ) ) |
12 |
9 11
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> W e. ( Base ` K ) ) |
13 |
|
simp3r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> P =/= Q ) |
14 |
|
eqid |
|- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K ) |
15 |
|
eqid |
|- ( |
16 |
14 15 5
|
lhp1cvr |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> W ( |
17 |
16
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> W ( |
18 |
|
simp2r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> -. P .<_ W ) |
19 |
10 1 2 3 14 15 4
|
1cvrat |
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ W e. ( Base ` K ) ) /\ ( P =/= Q /\ W ( ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. A ) |
20 |
6 7 8 12 13 17 18 19
|
syl133anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ P =/= Q ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) e. A ) |