Metamath Proof Explorer

Theorem 1cvrat

Description: Create an atom under an element covered by the lattice unit. Part of proof of Lemma B in Crawley p. 112. (Contributed by NM, 30-Apr-2012)

Ref Expression
Hypotheses 1cvrat.b 
|- B = ( Base ` K )
1cvrat.l 
|- .<_ = ( le ` K )
1cvrat.j 
|- .\/ = ( join ` K )
1cvrat.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
1cvrat.u 
|- .1. = ( 1. ` K )
1cvrat.c 
|- C = (
1cvrat.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion 1cvrat 
|- ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) e. A )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 1cvrat.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 1cvrat.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 1cvrat.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 1cvrat.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
5 1cvrat.u 
 |-  .1. = ( 1. ` K )
6 1cvrat.c 
 |-  C = (
7 1cvrat.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
8 hllat 
 |-  ( K e. HL -> K e. Lat )
9 8 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> K e. Lat )
10 simp21 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> P e. A )
11 1 7 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. B )
12 10 11 syl 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> P e. B )
13 simp22 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> Q e. A )
14 1 7 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. B )
15 13 14 syl 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> Q e. B )
16 1 3 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ Q e. B ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) )
17 9 12 15 16 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> ( P .\/ Q ) = ( Q .\/ P ) )
18 17 oveq1d 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) = ( ( Q .\/ P ) ./\ X ) )
19 1 3 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Q e. B /\ P e. B ) -> ( Q .\/ P ) e. B )
20 9 15 12 19 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> ( Q .\/ P ) e. B )
21 simp23 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> X e. B )
22 1 4 latmcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q .\/ P ) e. B /\ X e. B ) -> ( ( Q .\/ P ) ./\ X ) = ( X ./\ ( Q .\/ P ) ) )
23 9 20 21 22 syl3anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> ( ( Q .\/ P ) ./\ X ) = ( X ./\ ( Q .\/ P ) ) )
24 18 23 eqtrd 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) = ( X ./\ ( Q .\/ P ) ) )
25 simp1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> K e. HL )
26 21 13 10 3jca 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> ( X e. B /\ Q e. A /\ P e. A ) )
27 simp31 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> P =/= Q )
28 27 necomd 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> Q =/= P )
29 simp33 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> -. P .<_ X )
30 hlop 
 |-  ( K e. HL -> K e. OP )
31 30 3ad2ant1 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> K e. OP )
32 1 2 5 ople1 
 |-  ( ( K e. OP /\ Q e. B ) -> Q .<_ .1. )
33 31 15 32 syl2anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> Q .<_ .1. )
34 simp32 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> X C .1. )
35 1 2 3 5 6 7 1cvrjat 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ P e. A ) /\ ( X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> ( X .\/ P ) = .1. )
36 25 21 10 34 29 35 syl32anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> ( X .\/ P ) = .1. )
37 33 36 breqtrrd 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> Q .<_ ( X .\/ P ) )
38 1 2 3 4 7 cvrat3 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ Q e. A /\ P e. A ) ) -> ( ( Q =/= P /\ -. P .<_ X /\ Q .<_ ( X .\/ P ) ) -> ( X ./\ ( Q .\/ P ) ) e. A ) )
39 38 imp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( X e. B /\ Q e. A /\ P e. A ) ) /\ ( Q =/= P /\ -. P .<_ X /\ Q .<_ ( X .\/ P ) ) ) -> ( X ./\ ( Q .\/ P ) ) e. A )
40 25 26 28 29 37 39 syl23anc 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> ( X ./\ ( Q .\/ P ) ) e. A )
41 24 40 eqeltrd 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ X e. B ) /\ ( P =/= Q /\ X C .1. /\ -. P .<_ X ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ X ) e. A )