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Theorem cdlemefr27cl

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Closure of N . (Contributed by NM, 23-Mar-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemefr27.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemefr27.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemefr27.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemefr27.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemefr27.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemefr27.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemefr27.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
cdlemefr27.c 𝐶 = ( ( 𝑠 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑠 ) 𝑊 ) ) )
cdlemefr27.n 𝑁 = if ( 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐶 )
Assertion cdlemefr27cl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ) → 𝑁𝐵 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemefr27.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemefr27.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemefr27.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemefr27.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemefr27.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemefr27.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemefr27.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
8 cdlemefr27.c 𝐶 = ( ( 𝑠 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑠 ) 𝑊 ) ) )
9 cdlemefr27.n 𝑁 = if ( 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐶 )
10 simpr2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ) → ¬ 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) )
11 10 iffalsed ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ) → if ( 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) , 𝐼 , 𝐶 ) = 𝐶 )
12 9 11 syl5eq ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ) → 𝑁 = 𝐶 )
13 simpl1l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
14 simpl1r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ) → 𝑊𝐻 )
15 simpl2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ) → 𝑃𝐴 )
16 simpl3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ) → 𝑄𝐴 )
17 simpr1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ) → 𝑠𝐴 )
18 2 3 4 5 6 7 8 1 cdleme1b ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑠𝐴 ) ) → 𝐶𝐵 )
19 13 14 15 16 17 18 syl23anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ) → 𝐶𝐵 )
20 12 19 eqeltrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) ∧ ( 𝑠𝐴 ∧ ¬ 𝑠 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝑃𝑄 ) ) → 𝑁𝐵 )