Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg44.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
cdlemg44.t |
⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
cdlemg44.r |
⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
eqid |
⊢ ( Atoms ‘ 𝐾 ) = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
6 |
4 5 1
|
lhpexnle |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) → ∃ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
7 |
6
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
8 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
9 |
|
simp12l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝐹 ∈ 𝑇 ) |
10 |
|
simp12r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝐺 ∈ 𝑇 ) |
11 |
1 2
|
ltrnco |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) |
12 |
8 9 10 11
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ) |
13 |
1 2
|
ltrnco |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) |
14 |
8 10 9 13
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) |
15 |
|
3simpc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) |
16 |
|
simp13 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) |
17 |
1 2 3 4 5
|
cdlemg44b |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑝 ) ) ) |
18 |
8 9 10 15 16 17
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑝 ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑝 ) ) ) |
19 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ) |
20 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) |
21 |
4 5 1 2
|
ltrncoval |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑝 ) ) ) |
22 |
8 19 20 21
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝐺 ‘ 𝑝 ) ) ) |
23 |
4 5 1 2
|
ltrncoval |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑝 ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑝 ) ) ) |
24 |
8 10 9 20 23
|
syl121anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑝 ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹 ‘ 𝑝 ) ) ) |
25 |
18 22 24
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) = ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑝 ) ) |
26 |
4 5 1 2
|
cdlemd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) ‘ 𝑝 ) = ( ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ‘ 𝑝 ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) |
27 |
8 12 14 15 25 26
|
syl311anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) |
28 |
27
|
rexlimdv3a |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) ) |
29 |
7 28
|
mpd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐺 ) ) → ( 𝐹 ∘ 𝐺 ) = ( 𝐺 ∘ 𝐹 ) ) |