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Theorem cdlemg44

Description: Part of proof of Lemma G of Crawley p. 116, fifth line of third paragraph on p. 117: "and hence fg = gf." (Contributed by NM, 3-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemg44.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemg44.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemg44.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
Assertion cdlemg44 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) → ( 𝐹𝐺 ) = ( 𝐺𝐹 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemg44.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2 cdlemg44.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3 cdlemg44.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 eqid ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
5 eqid ( Atoms ‘ 𝐾 ) = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 4 5 1 lhpexnle ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) → ∃ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 )
7 6 3ad2ant1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 )
8 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
9 simp12l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝐹𝑇 )
10 simp12r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝐺𝑇 )
11 1 2 ltrnco ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) → ( 𝐹𝐺 ) ∈ 𝑇 )
12 8 9 10 11 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐹𝐺 ) ∈ 𝑇 )
13 1 2 ltrnco ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇 ) → ( 𝐺𝐹 ) ∈ 𝑇 )
14 8 10 9 13 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐺𝐹 ) ∈ 𝑇 )
15 3simpc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) )
16 simp13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) )
17 1 2 3 4 5 cdlemg44b ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑝 ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹𝑝 ) ) )
18 8 9 10 15 16 17 syl131anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑝 ) ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹𝑝 ) ) )
19 simp12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) )
20 simp2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) )
21 4 5 1 2 ltrncoval ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐹𝐺 ) ‘ 𝑝 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑝 ) ) )
22 8 19 20 21 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( ( 𝐹𝐺 ) ‘ 𝑝 ) = ( 𝐹 ‘ ( 𝐺𝑝 ) ) )
23 4 5 1 2 ltrncoval ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐹𝑇 ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ) → ( ( 𝐺𝐹 ) ‘ 𝑝 ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹𝑝 ) ) )
24 8 10 9 20 23 syl121anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( ( 𝐺𝐹 ) ‘ 𝑝 ) = ( 𝐺 ‘ ( 𝐹𝑝 ) ) )
25 18 22 24 3eqtr4d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( ( 𝐹𝐺 ) ‘ 𝑝 ) = ( ( 𝐺𝐹 ) ‘ 𝑝 ) )
26 4 5 1 2 cdlemd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝐺 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝐺𝐹 ) ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( ( 𝐹𝐺 ) ‘ 𝑝 ) = ( ( 𝐺𝐹 ) ‘ 𝑝 ) ) → ( 𝐹𝐺 ) = ( 𝐺𝐹 ) )
27 8 12 14 15 25 26 syl311anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) ∧ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ∧ ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐹𝐺 ) = ( 𝐺𝐹 ) )
28 27 rexlimdv3a ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ( Atoms ‘ 𝐾 ) ¬ 𝑝 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 → ( 𝐹𝐺 ) = ( 𝐺𝐹 ) ) )
29 7 28 mpd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐺𝑇 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) ≠ ( 𝑅𝐺 ) ) → ( 𝐹𝐺 ) = ( 𝐺𝐹 ) )