Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemg44.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
cdlemg44.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
3 |
|
cdlemg44.r |
|- R = ( ( trL ` K ) ` W ) |
4 |
|
eqid |
|- ( le ` K ) = ( le ` K ) |
5 |
|
eqid |
|- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K ) |
6 |
4 5 1
|
lhpexnle |
|- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> E. p e. ( Atoms ` K ) -. p ( le ` K ) W ) |
7 |
6
|
3ad2ant1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> E. p e. ( Atoms ` K ) -. p ( le ` K ) W ) |
8 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
9 |
|
simp12l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> F e. T ) |
10 |
|
simp12r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> G e. T ) |
11 |
1 2
|
ltrnco |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( F o. G ) e. T ) |
12 |
8 9 10 11
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> ( F o. G ) e. T ) |
13 |
1 2
|
ltrnco |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ F e. T ) -> ( G o. F ) e. T ) |
14 |
8 10 9 13
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> ( G o. F ) e. T ) |
15 |
|
3simpc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) ) |
16 |
|
simp13 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) |
17 |
1 2 3 4 5
|
cdlemg44b |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> ( F ` ( G ` p ) ) = ( G ` ( F ` p ) ) ) |
18 |
8 9 10 15 16 17
|
syl131anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> ( F ` ( G ` p ) ) = ( G ` ( F ` p ) ) ) |
19 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> ( F e. T /\ G e. T ) ) |
20 |
|
simp2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> p e. ( Atoms ` K ) ) |
21 |
4 5 1 2
|
ltrncoval |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( F o. G ) ` p ) = ( F ` ( G ` p ) ) ) |
22 |
8 19 20 21
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> ( ( F o. G ) ` p ) = ( F ` ( G ` p ) ) ) |
23 |
4 5 1 2
|
ltrncoval |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ F e. T ) /\ p e. ( Atoms ` K ) ) -> ( ( G o. F ) ` p ) = ( G ` ( F ` p ) ) ) |
24 |
8 10 9 20 23
|
syl121anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> ( ( G o. F ) ` p ) = ( G ` ( F ` p ) ) ) |
25 |
18 22 24
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> ( ( F o. G ) ` p ) = ( ( G o. F ) ` p ) ) |
26 |
4 5 1 2
|
cdlemd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F o. G ) e. T /\ ( G o. F ) e. T ) /\ ( p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) /\ ( ( F o. G ) ` p ) = ( ( G o. F ) ` p ) ) -> ( F o. G ) = ( G o. F ) ) |
27 |
8 12 14 15 25 26
|
syl311anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) /\ p e. ( Atoms ` K ) /\ -. p ( le ` K ) W ) -> ( F o. G ) = ( G o. F ) ) |
28 |
27
|
rexlimdv3a |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> ( E. p e. ( Atoms ` K ) -. p ( le ` K ) W -> ( F o. G ) = ( G o. F ) ) ) |
29 |
7 28
|
mpd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ G e. T ) /\ ( R ` F ) =/= ( R ` G ) ) -> ( F o. G ) = ( G o. F ) ) |