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Theorem cdlemk55u1

Description: Lemma for cdlemk55u . (Contributed by NM, 31-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
cdlemk5.u 𝑈 = ( 𝑔𝑇 ↦ if ( 𝐹 = 𝑁 , 𝑔 , 𝑋 ) )
Assertion cdlemk55u1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑈 ‘ ( 𝐺𝐼 ) ) = ( ( 𝑈𝐺 ) ∘ ( 𝑈𝐼 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
11 cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
12 cdlemk5.u 𝑈 = ( 𝑔𝑇 ↦ if ( 𝐹 = 𝑁 , 𝑔 , 𝑋 ) )
13 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
14 simp21l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) )
15 simp12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐹𝑇 )
16 simp13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝑁𝑇 )
17 simp21r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐹𝑁 )
18 1 6 7 8 trlnid ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( 𝐹𝑁 ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
19 13 15 16 17 14 18 syl122anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) )
20 15 19 16 3jca ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) )
21 simp22 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐺𝑇 )
22 simp23 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → 𝐼𝑇 )
23 simp3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
24 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk55 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋 = ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) )
25 13 14 20 21 22 23 24 syl231anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋 = ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) )
26 6 7 ltrnco ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) → ( 𝐺𝐼 ) ∈ 𝑇 )
27 13 21 22 26 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝐺𝐼 ) ∈ 𝑇 )
28 11 12 cdlemk40f ( ( 𝐹𝑁 ∧ ( 𝐺𝐼 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ ( 𝐺𝐼 ) ) = ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋 )
29 17 27 28 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑈 ‘ ( 𝐺𝐼 ) ) = ( 𝐺𝐼 ) / 𝑔 𝑋 )
30 11 12 cdlemk40f ( ( 𝐹𝑁𝐺𝑇 ) → ( 𝑈𝐺 ) = 𝐺 / 𝑔 𝑋 )
31 17 21 30 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑈𝐺 ) = 𝐺 / 𝑔 𝑋 )
32 11 12 cdlemk40f ( ( 𝐹𝑁𝐼𝑇 ) → ( 𝑈𝐼 ) = 𝐼 / 𝑔 𝑋 )
33 17 22 32 syl2anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑈𝐼 ) = 𝐼 / 𝑔 𝑋 )
34 31 33 coeq12d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( ( 𝑈𝐺 ) ∘ ( 𝑈𝐼 ) ) = ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) )
35 25 29 34 3eqtr4d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐹𝑇𝑁𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ∧ 𝐹𝑁 ) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ) → ( 𝑈 ‘ ( 𝐺𝐼 ) ) = ( ( 𝑈𝐺 ) ∘ ( 𝑈𝐼 ) ) )