Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdlemk5.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
cdlemk5.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
cdlemk5.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
cdlemk5.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
cdlemk5.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
cdlemk5.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
7 |
|
cdlemk5.t |
⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
8 |
|
cdlemk5.r |
⊢ 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
9 |
|
cdlemk5.z |
⊢ 𝑍 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑁 ‘ 𝑃 ) ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 ∘ ◡ 𝐹 ) ) ) ) |
10 |
|
cdlemk5.y |
⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) ∧ ( 𝑍 ∨ ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 ∘ ◡ 𝑏 ) ) ) ) |
11 |
|
cdlemk5.x |
⊢ 𝑋 = ( ℩ 𝑧 ∈ 𝑇 ∀ 𝑏 ∈ 𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝑏 ) ≠ ( 𝑅 ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑧 ‘ 𝑃 ) = 𝑌 ) ) |
12 |
|
cdlemk5.u |
⊢ 𝑈 = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ if ( 𝐹 = 𝑁 , 𝑔 , 𝑋 ) ) |
13 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
14 |
|
simp21l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) |
15 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑇 ) |
16 |
|
simp13 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑁 ∈ 𝑇 ) |
17 |
|
simp21r |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐹 ≠ 𝑁 ) |
18 |
1 6 7 8
|
trlnid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) |
19 |
13 15 16 17 14 18
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) |
20 |
15 19 16
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ) |
21 |
|
simp22 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐺 ∈ 𝑇 ) |
22 |
|
simp23 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐼 ∈ 𝑇 ) |
23 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) |
24 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
cdlemk55 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) |
25 |
13 14 20 21 22 23 24
|
syl231anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) |
26 |
6 7
|
ltrnco |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∈ 𝑇 ) |
27 |
13 21 22 26
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∈ 𝑇 ) |
28 |
11 12
|
cdlemk40f |
⊢ ( ( 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) = ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) |
29 |
17 27 28
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑈 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) = ⦋ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) |
30 |
11 12
|
cdlemk40f |
⊢ ( ( 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) = ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) |
31 |
17 21 30
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) = ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) |
32 |
11 12
|
cdlemk40f |
⊢ ( ( 𝐹 ≠ 𝑁 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝐼 ) = ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) |
33 |
17 22 32
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑈 ‘ 𝐼 ) = ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) |
34 |
31 33
|
coeq12d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ∘ ( 𝑈 ‘ 𝐼 ) ) = ( ⦋ 𝐺 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ∘ ⦋ 𝐼 / 𝑔 ⦌ 𝑋 ) ) |
35 |
25 29 34
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑁 ∈ 𝑇 ) ∧ ( ( ( 𝑅 ‘ 𝐹 ) = ( 𝑅 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ≠ 𝑁 ) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐼 ∈ 𝑇 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑈 ‘ ( 𝐺 ∘ 𝐼 ) ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝐺 ) ∘ ( 𝑈 ‘ 𝐼 ) ) ) |