Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
chpmatply1.c |
⊢ 𝐶 = ( 𝑁 CharPlyMat 𝑅 ) |
2 |
|
chpmatply1.a |
⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 ) |
3 |
|
chpmatply1.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 ) |
4 |
|
chpmatply1.p |
⊢ 𝑃 = ( Poly1 ‘ 𝑅 ) |
5 |
|
chpmatply1.e |
⊢ 𝐸 = ( Base ‘ 𝑃 ) |
6 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) = ( 𝑁 Mat 𝑃 ) |
7 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑁 maDet 𝑃 ) = ( 𝑁 maDet 𝑃 ) |
8 |
|
eqid |
⊢ ( -g ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) = ( -g ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) |
9 |
|
eqid |
⊢ ( var1 ‘ 𝑅 ) = ( var1 ‘ 𝑅 ) |
10 |
|
eqid |
⊢ ( ·𝑠 ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) = ( ·𝑠 ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) |
11 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 ) = ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 ) |
12 |
|
eqid |
⊢ ( 1r ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) = ( 1r ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) |
13 |
1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12
|
chpmatval |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑀 ) = ( ( 𝑁 maDet 𝑃 ) ‘ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( 1r ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ) ( -g ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) ) ) ) |
14 |
4
|
ply1crng |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ CRing ) |
15 |
14
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑃 ∈ CRing ) |
16 |
|
crngring |
⊢ ( 𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring ) |
17 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( 1r ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ) ( -g ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) ) = ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( 1r ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ) ( -g ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) ) |
18 |
2 3 4 6 9 11 8 10 12 17
|
chmatcl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( 1r ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ) ( -g ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ) |
19 |
16 18
|
syl3an2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( 1r ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ) ( -g ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ) |
20 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) = ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) |
21 |
7 6 20 5
|
mdetcl |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ CRing ∧ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( 1r ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ) ( -g ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) ) ∈ ( Base ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ) → ( ( 𝑁 maDet 𝑃 ) ‘ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( 1r ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ) ( -g ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ 𝐸 ) |
22 |
15 19 21
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 maDet 𝑃 ) ‘ ( ( ( var1 ‘ 𝑅 ) ( ·𝑠 ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( 1r ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ) ( -g ‘ ( 𝑁 Mat 𝑃 ) ) ( ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 ) ‘ 𝑀 ) ) ) ∈ 𝐸 ) |
23 |
13 22
|
eqeltrd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐶 ‘ 𝑀 ) ∈ 𝐸 ) |